Nicht-Abelsches Eichfeld und Fermionen unter Parität?

Das Messfeld$A_\mu$transformiert sich als Covektor (hier$A_\mu = T^a A^a_\mu$ist die vollständige Verbindungsmatrix). Das bedeutet, dass$A_\mu$transformiert sich auf die gleiche Weise wie partielle Ableitungen$\partial_\mu$verwandeln. Dies ist am einfachsten zu sehen, wenn man sich die kovariante Ableitung ansieht$D_\mu = \partial_\mu + A_\mu$. Die kovariante Ableitung transformiert sich unter Koordinatenänderungen$x \rightarrow y$als

$\frac{D}{dy^\mu} = \frac{dx^\nu}{dy^\mu} \frac{D}{dx^\nu}$

Oder anders geschrieben,

$D_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} D_\nu$

Dies impliziert, dass bei einer Koordinatenänderung$A_\mu$verwandelt sich auf die gleiche Weise,

$A_\mu \rightarrow \frac{dx^\nu}{dy^\mu} A_\nu$

Unter einer Reflexion gibt es also eine Komponente$x^i$das verwandelt sich in$x^i \rightarrow -x^i$alle anderen bleiben gleich. Das bedeutet also

$A_i \rightarrow -A_i$(dh$A^a_i \rightarrow -A^a_i$)

und alle anderen Komponenten bleiben gleich. Beachten Sie, dass dies eine rein geometrische Aussage ist, die nichts mit der Quantisierung der Theorie zu tun hat und aus der Betrachtung stammt$A_\mu$als Verbindung zu einem Vektorbündel ( siehe zum Beispiel diesen anderen StackExchange-Beitrag ).

Fermionen wandeln sich wie gewohnt um,$\psi \rightarrow \gamma^0 \psi$unter Parität, was dem Umschalten der linken und rechten Komponente des Fermifelds entspricht.