Inwieweit Korrelationsfunktionen die Theorie (und Lagranian) bestimmen

Die Observablen der Theorie sind zunächst die der Algebra$\cal A$(technisch u$^*$-Algebra mit Einheit) von Objekten, die von den verschmierten Feldern erzeugt werden$\phi(f)$. Ich meine Linearkombinationen von$I$und Produkte von verschmierten Feldern$\phi(f)$, Wo$f$ist eine komplexwertige, kompakt unterstützte glatte Funktion. Diese Algebra kann erweitert werden, indem renormierte Objekte wie z$\phi^n(f)$von$T_{\mu\nu}(f)$usw. Wenn Sie mit den Korrelationsfunktionen ausgestattet sind, können Sie alle Erwartungswerte der Elemente von berechnen$\cal A$. Z.B,

$$\langle \phi(f)\phi(g) \rangle = \int_{M\times M} G(x_1,x_2) f(x_1)g(x_2) d^nx_1 d^nx_2\:.$$ Die Korrelationsfunktionen bestimmen also einen Zustand $\langle \cdot \rangle$auf der Algebra $\cal A$. Es gibt einen entsprechenden Satz, der sicherstellt, dass die lineare Abbildung bereitgestellt wird $\langle \cdot \rangle : {\cal A} \to C$ist positiv, dh $\langle A^*A \rangle \geq 0$für $A\in \cal A$, das sogenannte GNS-Theorem. Dieser Satz garantiert auch, dass es einen (bis auf einheitliche Äquivalenzen eindeutig definierten) Hilbert-Raum gibt, in dem alles auf die übliche Weise dargestellt werden kann (die Elemente von $\cal A$sind Operatoren, $\langle \cdot \rangle$entspricht einem Erwartungswert der Form $\langle \Psi| \cdot |\Psi\rangle$). Der gefundene Zustand kann auf die erweiterte Algebra einschließlich renormierter Objekte erweitert werden, aber hier wird das Verfahren kompliziert und ich gehe nicht auf Details ein. Zusammenfassend: Ja, unter bestimmten milden Hypothesen bestimmt die Klasse der Korrelationsfunktionen die Quantentheorie eindeutig. Es gibt jedoch keine Garantie für die Existenz einer Lagrange-Funktion, die die gefundene Theorie beschreibt. In diesem Sinne sind die Korrelationsfunktionen grundlegender als die Lagrangefunktion.