Übergangsamplituden nach funktionalen Methoden in der QFT

Question

Übergangsamplituden nach funktionalen Methoden in der QFT

Physik
Wegintegral
Dochtdrehung
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen

Krake

Ich folge Abschnitt 9.2 in Peskin und Schroeder, in dem die Feynman-Regeln für skalare Felder abgeleitet werden.

Sie definieren (in Gl. (9.14), Seite 282) die Übergangsamplitude aus $\vert\phi_a\rangle$ Zu $\vert\phi_b\rangle$ rechtzeitig $T$ sein

\begin{matrix} (1) & ⟨ ϕ_{B} | e^{- ich H T} | ϕ_{A} ⟩ = \int D ϕ \exp [ich \int_{0}^{T} D^{4} X L] . \end{matrix}

$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]\tag{1}.$

Dann (auf Seite 289) behandeln sie die $\phi^4$ Theorie und verwenden Sie die Erweiterung

\begin{matrix} (2) & \exp [ich \int_{0}^{T} D^{4} X L] = \exp [ich \int_{0}^{T} D^{4} X L_{0}] (1 - ich \int D^{4} X \frac{ϕ}{4!} ϕ^{4} + \dots) \end{matrix}

$\exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right] = \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right]\left(1-i\int d^4x \frac{\phi}{4!}\phi^4+\cdots\right)\tag{2}$

Jeder Begriff auf der rechten Seite hat tatsächlich die Form

\int D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N}) \exp [ich \int_{0}^{T} D^{4} X L_{0}],

$\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\cdots\phi(x_n) \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L_0}\right],$

was in einer einfachen Verallgemeinerung der Formel erscheint (Gl. (9.18), Seite 284)

\begin{matrix} (3) & ⟨ Ω | T ϕ_{H} (X_{1}) ϕ_{H} (X_{2}) | Ω ⟩ = lim_{T \to \infty (1 - ich ϵ)} (\frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) \exp [ich \int_{- T}^{T} D^{4} X L_{0}]}{\int D ϕ \exp [ich \int_{- T}^{T} D^{4} X L_{0}]}) \end{matrix}

$\langle\Omega\vert T\phi_H(x_1)\phi_H(x_2)\vert\Omega\rangle = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \left(\frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp\left[i\int_{-T}^Td^4x\mathcal{L_0}\right]}\right)\tag{3}$

Um die Feynman-Regeln abzuleiten, wollen wir jeden Term in (2) gegen eine Korrelationsfunktion austauschen.

Was passiert mit dem Nenner von (3)?
Außerdem sollte ich mir Sorgen um die Einnahme machen $T\to\infty(1-i\epsilon)$ anstatt $T\to \infty$ (was wäre das Natürliche in (1))?

Antworten (2)

Übergangsamplituden nach funktionalen Methoden in der QFT

Ihle · Answer 1

Ich denke, ein Teil Ihrer Verwirrung rührt von der Tatsache her, dass es in QFT zwei verschiedene Arten von Vakuua gibt. Da ist zunächst das Vakuum der freien Theorie, meist bezeichnet $|0\rangle$ , zweitens gibt es das volle (wechselwirkende) Vakuum, das normalerweise als bezeichnet wird $|\Omega \rangle$ .

Was wir berechnen wollen, sind die verschiedenen Größen in der vollständigen Theorie wie:

⟨ Ω | T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) | Ω ⟩ .

$\begin{equation} \langle\Omega\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert\Omega\rangle. \end{equation}$

Was Sie in Gleichung (3) geschrieben haben, ist eigentlich der Propagator in der freien Theorie (sehen Sie, dass Sie verwenden $\mathcal{L}_0$ und nicht $\mathcal{L}$ so wie es sein sollte). Dies mag wie ein kleiner Punkt erscheinen, aber der Unterschied ist wichtig zu verstehen. (Sie müssen es falsch aus Gl. (9.18) in P & S kopiert haben, da es dort richtig aussieht.

Das Problem ist, dass wir dies nicht direkt berechnen können. Was wir tun, ist im Grunde zu sagen: Was wäre, wenn die vollständige Theorie fast wie die freie Theorie wäre, aber mit einem kleinen Wechselwirkungsterm? Das heißt, wir betreiben Störungstheorie. Denn wir kennen den Verbreiter der freien Theorie:

Δ_{F} (X_{1} - X_{2}) = ⟨ 0 | T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) | 0 ⟩ = \frac{\int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) e^{ich S_{0}}}{\int D ϕ e^{ich S_{0}}} .

$\Delta_F(x_1-x_2) =\langle0\vert T\phi(x_1)\phi(x_2)\vert0\rangle = \frac{\int \mathcal{D}\phi\; \phi(x_1)\phi(x_2) e^{iS_0}}{\int \mathcal{D}\phi\; e^{iS_0}}.$

Der Trick besteht dann darin, alles im Sinne des Verbreiters der freien Theorie umzuschreiben.

Die tatsächliche Ableitung der vollständigen 2-Punkt-Funktion ist ziemlich kompliziert, aber Sie finden sie auf den P&S-Seiten 82-99.

Kostja · Answer 2

Beginnen wir mit der zweiten Frage:

Außerdem sollte ich mir Sorgen um die Einnahme machen $T\to\infty(1-i\epsilon)$ anstatt $T\to \infty$ (was wäre das Natürliche in (1))?

Und da fangen wir damit an, uns zu fragen, „warum“ wir das Limit überhaupt machen?
Die Antwort ist – wir wollen nicht die Erwartung für die $|\phi_a\rangle$ Und $|\phi_b\rangle$ Zustände - wir wollen ihn für den Grundzustand der Wechselwirkungsfeldtheorie, üblicherweise bezeichnet als $|\Omega\rangle$ . Und das zu bekommen ist eine knifflige Angelegenheit, die in Kapitel 4 des Buches ausführlich erklärt wird. Aber die Grundidee ist, dass man den Grundzustand nimmt $|0\rangle$ der nicht-interagierenden QFT und entwickle sie für eine Zeit T.

e^{- ich H T} | 0 ⟩ = \sum_{N} e^{- ich E_{N} T} | N ⟩ ⟨ N | 0 ⟩

$e^{-iHT}|0\rangle = \sum_n e^{-iE_nT}|n\rangle\langle n|0\rangle$

Mit $|n\rangle$ die Zustände der interagierenden QFT sind. Das merkt man dann beim Schalten $T$ ein wenig in eine komplexe Richtung, dann werden die Exponenten kleiner. Der letzte Trick besteht darin, eine Grenze von groß zu nehmen $\Re T$ also nur das $E_0 = \langle\Omega|H|\Omega\rangle$ überlebt.

Hier ist also Ihr Grund für all die Aufregung mit $T\to\infty(1-i\epsilon)$

Was passiert mit dem Nenner von (3)?

Das hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen. Während Sie das Verfahren durchführen, haben Sie einen zusätzlichen Faktor, durch den Sie dividieren müssen (siehe Gl. (4.27)):

| Ω ⟩ = lim_{T \to \infty (1 - ich ϵ)} {(e^{- ich E_{0} T} ⟨ Ω | 0 ⟩)}^{- 1} e^{- ich H T} | 0 ⟩

$|\Omega\rangle = \lim_{T\to \infty(1-i\epsilon)}\left(e^{-iE_0T}\langle\Omega|0\rangle\right)^{-1}e^{-iHT}|0\rangle$

Daher kommt der Nenner.

Danke für deine Antwort! Ich denke, ich folge der Herleitung von (3), einschließlich der Aufregung um den Imaginärteil, um alle anderen Energie-Eigenzustände zu töten. Meine Sorge war, dass wir dies nicht in (1) tun sollten, wo das Ziel darin besteht, eine Übergangswahrscheinlichkeit von zu finden $t=-\infty$ Zu $t=+\infty$ . Die andere Sorge ist, dass der Nenner in (3) zu verschwinden scheint, wenn wir Gleichung (3) in (2) verwenden, um die Feynman-Regeln für eine bestimmte Theorie zu finden.
@octopus Wir setzen einfach die Vakuum-zu-Vakuum-Amplitude auf 1 (in einer freien Theorie), sodass der Nenner gleich Eins ist! Das macht physikalisch sehr viel Sinn, weil in einer freien Theorie niemals etwas „passieren“ sollte, wenn man im Grundzustand beginnt.
Bedeutet das, dass wir definieren $\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle = \int \mathcal{D}\phi \exp\left[i\int_0^Td^4x\mathcal{L}\right]$ anders, um den Nenner verschwinden zu lassen, oder gibt es einen Grund, warum der Nenner tatsächlich eins ist?

Übergangsamplituden nach funktionalen Methoden in der QFT

Krake

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Kostja

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Krake

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