Zur Interpretation von Feynman-Diagrammen

Diagramme als Abkürzungen

Lassen wir die Physik für einen Moment außer Acht. Ein Feynman-Diagramm ist eine grafische Abkürzung für eine Größe wie

Jeder Faktor im Integranden wird durch eine Linie dargestellt. Jede Variable wird durch einen Punkt dargestellt, wenn also zwei Faktoren dieselbe Variable teilen, sind ihre Linien miteinander verbunden. Ganz allgemein, wie in der Frage erwähnt, die Faktoren$A,B,C,D,E,F$im Integranden können auch Indizes enthalten sein, die auf verschiedene Weise miteinander kontrahiert werden können, aber dieses einfache Beispiel veranschaulicht die Idee.

Wie Feynman-Diagramme in der Physik entstehen

In der Physik entstehen Größen der Form (1) – Feynman-Diagramme – aus der Anwendung der Störungstheorie als Rechenmethode in der Feldtheorie. Die Störungstheorie wird typischerweise verwendet, wenn die Bewegungsgleichungen für die Felder nichtlinear sind, was exakte Lösungen unerreichbar macht, und wenn die Nichtlinearitäten (auch Wechselwirkungen genannt) schwach sind . Wenn wir dann alles in Potenzen der Koeffizienten der nichtlinearen Terme erweitern, können wir manchmal eine gute Annäherung an die exakte Lösung erhalten. Die Störungstheorie ist die Kunst, diese Art der Erweiterung durchzuführen.

Das ist übrigens nicht spezifisch für die Quantenfeldtheorie. Feynman-Diagramme sind in der klassischen Feldtheorie ebenso geeignet . Ein Unterschied besteht darin, dass Feynman-Diagramme in der klassischen Feldtheorie keine Schleifen haben. Schleifen, wie die Dreiecksschleife im oben gezeigten Diagramm, sind eine Besonderheit der Quantenfeldtheorie . In dieser Antwort konzentriere ich mich auf die Quantenfeldtheorie, wo die Diagramme in Bezug auf Teilchen interpretiert werden können ... na ja, irgendwie. Mehr dazu weiter unten.

Integrale wie (1) entstehen, wenn wir mit einer Korrelationsfunktion im vollständigen nichtlinearen Modell beginnen und sie in Potenzen der Wechselwirkungsstärke erweitern – das ist Störungstheorie. Jedes Diagramm repräsentiert einen Begriff in dieser Erweiterung. Jeder dieser Terme ist eine Kombination von Größen, die wir in der linearen (nicht wechselwirkenden) Version des Modells exakt berechnen können . Im obigen Beispiel jeder der Faktoren$A,B,C,D,E,F$repräsentiert eine Zweipunkt-Korrelationsfunktion in der linearen Version des Modells. Die Dinge, die korreliert werden, sind Feldoperatoren.

Die Frage ist, wie hängt das alles mit Teilchen zusammen ?

Feynman-Diagramme und Partikel

In einer Quantenfeldtheorie mit linearen Bewegungsgleichungen werden die Feldoperatoren typischerweise direkt auf Teilchen bezogen. Die Anwendung eines Feldoperators auf den Vakuumzustand ergibt typischerweise einen Einzelteilchenzustand. Folglich kann die Vakuumkorrelationsfunktion eines Produkts zweier Feldoperatoren als inneres Produkt zwischen zwei Einteilchenzuständen interpretiert werden. Wir können uns ein solches inneres Produkt als die Amplitude vorstellen (deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit ist) für ein Teilchen, das ursprünglich hier ist, um dort entdeckt zu werden , wobei „hier“ und „dort“ zeitlich und/oder räumlich getrennt sein können. Deshalb nennen wir die Korrelationsfunktion einen Propagator.

In einer Quantenfeldtheorie mit nichtlinearen Bewegungsgleichungen entsprechen Feldoperatoren typischerweise nicht so einfach Teilchen. Das Anwenden eines Feldoperators auf den Vakuumzustand erzeugt keinen reinen Einzelteilchenzustand, sodass eine exakte Zweipunkt-Korrelationsfunktion (Propagator) im Allgemeinen nicht die Ausbreitung eines einzelnen Teilchens darstellt. Mit einigen technischen Vorbehalten kann der von einem Feldoperator erzeugte Zustand jedoch einen Einzelteilchenterm enthalten (als Teil einer Quantenüberlagerung mit anderen Termen), und wir können den gewünschten Einzelteilchenbeitrag zum Propagator extrahieren, indem wir einen geeigneten anwenden Differentialoperator dazu. Dies ist die Idee hinter der LSZ-Reduktionsformel, die in der Antwort von user1379857 hervorgehoben wird. Die LSZ-Reduktionsformel bezieht sich auf eine exakte$N$-Punkt-Korrelationsfunktion zu einer Streuamplitude für$N$Teilchen in der nichtlinearen Theorie.

Die exakte Berechnung von Korrelationsfunktionen liegt aber meist außerhalb unserer Möglichkeiten, also greifen wir auf die Störungstheorie zurück: Wir erweitern alles in Potenzen der Wechselwirkungsstärke, den Koeffizienten der nichtlinearen Terme in den Bewegungsgleichungen. Jeder Term in dieser Erweiterung hat die in Gleichung (1) dargestellte Form, wobei gilt:$A,B,C,D,E,F$sind Zweipunkt-Korrelationsfunktionen im linearen Modell, wobei die Wechselwirkungsstärke auf Null gesetzt ist. Im linearen Modell würden diese Linien auf die oben beschriebene Weise Partikeln entsprechen. Aber das lineare Modell wird hier nur als künstliches Gerät verwendet, um etwas im nichtlinearen Modell zu berechnen. Im nichtlinearen Modell ist die Interpretation dieser Linien als Partikel normalerweise nicht gültig. Experten bezeichnen sie oft immer noch als "Partikel", weil es einfach, unterhaltsam oder was auch immer ist. Manchmal verwenden sie das Adjektiv „virtuell“ als Warnung, aber es ist immer noch nur Fachjargon.

Es gibt jedoch Situationen, in denen die exakte Streuamplitude in der nichtlinearen Theorie von einem Term in der Erweiterung dominiert wird, und einige dieser Situationen beinhalten wirklich ein physikalisch beobachtbares Zwischenteilchenphänomen, das wirklich ziemlich direkt einer internen Linie in entspricht dominantes Feynman-Diagramm! Darüber hinaus ist die Unterscheidung zwischen diesen Situationen und typischeren Situationen unscharf. Deshalb ist diese Antwort ... unscharf.

Um die Beziehung zwischen Feynman-Diagrammen und Teilchen wirklich zu verstehen, empfehle ich, auf ein störungsfreies Verständnis von Teilchen in der Quantenfeldtheorie hinzuarbeiten. Exakte störungsfreie Berechnungen sind normalerweise unerreichbar, aber wir können immer noch störungsfreie Prinzipien als Grundlage dafür verwenden, wie wir über die Quantenfeldtheorie denken. Die Störungstheorie ist ein Werkzeug im Werkzeugkasten. Es ist nicht das, was wir zu bauen versuchen.

Die Sache, die Feynman-Diagramme mit physikalischen Prozessen verbindet, wird als "LSZ-Reduktionsformel" bezeichnet. In einer Standard-QFT-Klasse ist der Beweis der LSZ-Reduktionsformel (bei richtiger Ausführung) wirklich das erste Mal, dass Sie Fragen stellen wie „Was sind asymptotische Teilchenzustände“ und „Was bedeutet es, dass Teilchen interagieren“. Grundsätzlich sagt Ihnen die Formel, dass Sie zur Berechnung der Amplitude für einen auftretenden Streuprozess einfach den Term aus allen Feynman-Diagrammen mit bestimmten "externen Schenkeln" zusammenfassen müssen. Dh wenn Sie 2 Elektronen --> 2 Elektronenstreuung berechnen wollen, summieren Sie alle Feynman-Diagramme mit 4 externen Elektronenschenkeln. Es gibt jedoch auch eine kleine Feinheit, nämlich dass die LSZ-Formel besagt, dass Sie tatsächlich "amputieren" müssen. die Beine, um die Amplitude zu erhalten. Obwohl Sie diese Diagramme zeichnen, schließen Sie also nicht die Propagatoren ein, die von den äußeren Beinen kommen. Nur die inneren Schenkel tragen zur Streuamplitude bei.