Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeitsamplitude auf Baumebene für den Elektron-Positron-zu-Myon-Antimyon-Prozess?

Betrachten Sie den folgenden Prozess:$e^+ + e^- \rightarrow \mu^+ + \mu^-$. Ich versuche, die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines solchen Prozesses in führender Ordnung zu berechnen.

In führender Ordnung ist die Amplitude gegeben durch:

$$\mathcal{M} = ie^2 [\bar{v}(p_2,s_2)\gamma^{\mu}u(p_1,s_1)]\frac{1}{(p_1+p_2)^2}[\bar{u}(p_3,s_3)\gamma_{\mu}v(p_4,s_4)].$$

Um die volle Wahrscheinlichkeitsamplitude zu erhalten, müssen wir über alle Spinzustände summieren und die Amplitude quadrieren. Am Ende reduziert sich der Ausdruck auf:

$$\sum_{ s} |\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{s^2} \operatorname{Tr} [\gamma^{\mu}(\gamma^{\sigma}p_{1,\sigma}+m_1)\gamma^{\nu}(\gamma^{\alpha}p_{2,\alpha}-m_2)] \operatorname{Tr} [\gamma_{\mu}(\gamma^{\beta}p_{4,\beta} - m_4)\gamma_{\nu}(\gamma^{\delta}p_{3,\delta}+m_3)]$$

Wo$\gamma^{\mu}$sind die Dirac-Matrizen,$p_{1,2,3,4}$sind die einfallenden Impulse des Positrons und des Elektrons (1 und 2) und die ausgehenden Impulse der Myonen (3 und 4). Die Massen haben die gleiche Beschriftung.

Unter Verwendung der Trace-Beziehungen für die Dirac-Matrizen bin ich mit der Berechnung der Traces so weit gekommen:

$$\operatorname{Tr} [\gamma^{\mu}(\gamma^{\sigma}p_{1,\sigma}+m_1)\gamma^{\nu}(\gamma^{\alpha}p_{2,\alpha}-m_2)] \\= 4(g^{\mu \sigma}g^{\nu\alpha}p_{\sigma 1}p_{\alpha 2} - g^{\mu \nu}g^{\sigma \alpha}p_{\sigma 1}p_{\alpha 2} + g^{\mu \alpha}g^{\sigma \nu}p_{\sigma1}p_{\alpha2}- g^{\mu \nu} m_1 m_2)$$

(wobei ich verwendet habe, dass alle Spuren mit einer ungeraden Anzahl von Gammamatrizen identisch Null sind) und einen analogen Begriff für die zweite Spur.

Wenn jemand überprüfen könnte, ob das bisher gut ist, würde ich es schätzen, da ich mit dieser Notation ein ziemlicher Neuling bin. Und wie gehe ich hier weiter vor? Ich bin etwas verwirrt, wenn ich diese metrischen Tensoren miteinander multiplizieren möchte, besonders wenn ich auch das Produkt mit der 2. Spur betrachte. Ich wäre dankbar, wenn jemand die Berechnung vielleicht in Babyschritten fertigstellen könnte.