Symmetriefaktor über den Satz von Wick

Question

Symmetriefaktor über den Satz von Wick

Physik
Symmetrie
Dochtsatz
Feynman-Diagramme
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen

CAF

Betrachten Sie die Lagrangian des reellen Skalarfeldes gegeben durch

L = \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} - \frac{λ}{4!} ϕ^{4}

$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$

Abgesehen von Schneckenbeiträgen trägt das einzige Diagramm dazu bei $\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$ bei einer Schleifenreihenfolge ist der sogenannte Dinosaurier:

Um den Symmetriefaktor zu argumentieren $S$ Von diesem Diagramm sage ich, dass es 4 Wahlmöglichkeiten für a gibt $\phi_y$ Feld, das mit einem der Endzustände abgeschlossen werden muss, und dann 3 Auswahlmöglichkeiten für einen anderen $\phi_y$ Feld mit dem verbleibenden Endzustand zu kontrahieren. Gleiche Argumente für die $\phi_x$ Felder und ihre Kontraktionen mit den Anfangszuständen. Damit bleiben 2 übrig! Permutationen der Propagatoren zwischen $x$ Und $y$ . Zwei Ecken => haben Faktor $(1/4!)^2$ und ein solches Diagramm würde in zweiter Ordnung in der Dyson-Erweiterung erzeugt werden => Faktor haben $1/2$ . Wenn ich das alles zusammenfasse, bekomme ich

S^{- 1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{4! \cdot 4! \cdot 2} = \frac{1}{4}

$S^{-1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{4! \cdot 4! \cdot 2} = \frac{1}{4}$ Ich denke, die Antwort sollte sein

1 / 2

$1/2$ Kann mir also jemand helfen, zu sehen, wo ich einen Faktor verloren habe

2

$2$ ?

Ich könnte auch auswerten

⟨ P_{4} P_{3} | T (ϕ (j)^{4} ϕ (X)^{4}) | P_{1} P_{2} ⟩ = ⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{4} ϕ (X)^{4} : | P_{1} P_{2} ⟩ + \dots + (Vertrag (ϕ (X) ϕ (j)))^{2} ⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{2} ϕ (X)^{2} : | P_{1} P_{2} ⟩ + \dots

$\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle = \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^4 \phi(x)^4 : | p_1 p_2 \rangle + \dots + (\text{contract}(\phi(x) \phi(y)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 :| p_1 p_2 \rangle + \dots$ wobei Punkte über diesen Korrelator erzeugte Diagramme anzeigen, die nicht zu einer Schleife beitragen. (Ich kenne den Latex für das Wick-Kontraktionssymbol nicht, also schreibe ich nur Vertrag). Gibt es eine Möglichkeit, den Symmetriefaktor durch Berechnung des Terms herauszufinden?

(contract (ϕ (x) ϕ (y)))^{2} ⟨ p_{4} p_{3} | : ϕ (y)^{2} ϕ (x)^{2} : | p_{1} p_{2} ⟩ ?

$(\text{contract}(\phi(x) \phi(y)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2: | p_1 p_2 \rangle?$

Antworten (2)

Symmetriefaktor über den Satz von Wick

Jahan Claes · Answer 1

Beginnen wir mit den äußeren Beinen auf der linken Seite. Es gibt acht mögliche Stellen, an denen das erste äußere Bein oben links befestigt werden kann: Es kann an einem der vier möglichen befestigt werden $\phi_x$ Felder oder auf eines der vier möglichen $\phi_y$ Felder. Das untere linke Außenbein hat dann nur drei Möglichkeiten, da wenn das erste Bein an dem befestigt ist $\phi_x$ Feld, dieses Bein muss auch an a befestigt werden $\phi_x$ Feld, und ähnlich für $\phi_y$ . Das Anbringen dieser Beine ergibt also einen Faktor von $2\times 4\times 3$ .

Jetzt machen wir die Beine rechts. Wenn die Beine auf der linken Seite befestigt sind $\phi_x$ , die Beine auf der rechten Seite müssen angesetzt werden $\phi_y$ , und umgekehrt. Es gibt also nur vier Möglichkeiten für das äußere Bein oben rechts und drei Möglichkeiten für das äußere Bein oben links. Somit ergibt das Anbringen dieser Beine einen Faktor von $4\times 3$ .

Zum Schluss befestigen wir die inneren Beine. Das erste Bein hat zwei Befestigungspunkte, das zweite nur einen. So erhalten wir einen Faktor von $2$ .

Insgesamt bietet uns die Dyson-Serie eine $\frac{1}{2!}$ , und die Eckpunkte geben uns a $\frac{1}{4!4!}$ , also ist der Symmetriefaktor

\frac{2 \times 4 \times 3 \times 4 \times 3 \times 2}{2! 4! 4!} = \frac{1}{2}

$\frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2}$

Ihr Fehler bestand darin, den Faktor zwei zu vernachlässigen, der sich aus der Vertauschung der Rolle von ergibt $\phi_x$ Und $\phi_y$ .

Danke für deine Antwort, aber ich habe den Faktor bemerkt $2$ Es kommt vom Anbringen der inneren Beine, es ist nur, dass ich einen zusätzlichen Faktor hatte $2$ im Nenner auch (kommend von der Erweiterung des Exponentials in der Dyson-Erweiterung), was dies aufhob. Warum haben Sie diesen Faktor 2 aus der Dyson-Erweiterung nicht in Ihrer Antwort?
@CAF Oh, mein Fehler. Ich dachte, Ihr Faktor 2 käme vom Austausch $\phi_x$ Und $\phi_y$ . Im Allgemeinen ist der Faktor von $n!$ aus der Dyson-Erweiterung hebt fast immer den Faktor auf $n!$ aus der Vertauschung der Scheitelpunkte, also habe ich diese beiden Faktoren vernachlässigt. Ich werde bearbeiten.
Danke! Ja, ich glaube, ich habe es fast verstanden, aber dann habe ich versucht, mein Beispiel auf das Sonnenuntergangsdiagramm mit zwei Schleifen in anzuwenden $\phi^4$ mit zwei äußeren Beinen. Das hat Symmetriefaktor 1/12. Ich sagte, es gäbe 4 Möglichkeiten, ein x-Feld an das externe Feld anzuhängen, und 4 Möglichkeiten, ein y-Feld an das andere externe Feld anzuhängen. Bleiben also 3! Möglichkeiten, die Propagatoren zu befestigen. Mein Zähler ist dann $4 \cdot 4 \cdot 3!$ und Nenner ist $4! \cdot 4! \cdot 2$ Dies ergibt die richtige Antwort, aber hier habe ich den Faktor 2 nicht berücksichtigt, der sich aus der Permutation der Rolle von x und y ergibt. +1
@CAF Laut Peskin und Schroder hat das Sonnenuntergangsdiagramm einen Symmetriefaktor von 1/6. Ich weiß nicht, woher Sie 1/12 gefunden haben, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das nicht stimmt.
Danke! Ja, es scheint, dass der Vakuum-Sonnenuntergang mit zwei Schleifen einen Symmetriefaktor von 1/12 hat, also habe ich mich tatsächlich falsch erinnert. Schließlich wollte ich nur verstehen, was es bedeutet, "die Rolle von x und y zu vertauschen" - ist es, dass wir in der Vorschrift der Koordinaten-Feynman-Regeln für jeden Interaktionsscheitelpunkt ein Integral über diesen Scheitelpunkt haben müssen, also durch Permutieren von x und y wir den Anfangs- und den Endzustand effektiv beheben, aber den Anfangsbuchstaben an y und das Endzeichen an x anhängen (anstatt umgekehrt, wie in meinem Diagramm oben betrachtet)?
@CAF Das ist es im Grunde. Du hast ein $\phi_x$ und ein $\phi_y$ Scheitelpunkt, und Sie können entweder setzen $\phi_x$ auf der rechten Seite Ihres Diagramms oder setzen $\phi_y$ auf der rechten Seite. Es gibt also einen Faktor von zwei.
Danke! Ich habe die Antwort akzeptiert ... Ich habe mich auch gefragt, ob Sie abschließende Kommentare zum letzten Teil meiner Frage in meinem OP hatten, in dem ich über den Versuch spreche, den Symmetriefaktor durch explizite Berechnung unter Verwendung des Wick-Theorems zu erhalten.
@CAF Nun, mit Wicks Theorem zählen Sie nur die Anzahl der Möglichkeiten, Felder mit anderen Feldern und / oder externen Zuständen zusammenzuziehen. Das ist genau dasselbe wie das Zählen der Möglichkeiten, Scheitelpunkte miteinander und/oder externe Zustände zu verbinden.
Ich verstehe. Ich habe gerade Behandlungen gesehen, bei denen sie die im Korrelator verbleibenden Felder explizit umschreiben (dh die in $\langle p_3 p_4 | : \phi(x)^2 \phi(y)^2 : |p_1 p_2 \rangle$ Multiplizieren der Doppelkontraktion) in Bezug auf Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren, aber ich nehme an, dass wir durch diese Berechnung alle Arten von Diagrammen erhalten, die zum Korrelator beitragen, und die numerischen Koeffizienten vor jedem Diagramm stehen vielleicht für den Symmetriefaktor? Vielen Dank für Ihre Hilfe! :)
Der Satz von @CAF Wick besagt, dass die Amplitude durch alle möglichen Kontraktionen gegeben ist. Sie müssen also nur die Anzahl der Kontraktionen zählen, die dem von Ihnen gezeichneten Diagramm entsprechen.
Danke! Es macht Sinn - ich habe auch meine eigene Frage beantwortet, nur um die explizite Berechnung in allen blutigen Details niederzulegen :)

CAF · Answer 2

Das interessierende Diagramm (die $s$ Channel Dinosaurier) wird in zweiter Ordnung in der Dyson-Erweiterung generiert (neben dem $t$ Und $u$ Kanaldinosaurierdiagramme und die Schnecke $1 \text{PI}$ reduzierbare Diagramme) innerhalb des Korrelators $\langle p_4 p_3 | T( \mathcal L(y) \mathcal L(x)) | p_1 p_2 \rangle$ . Unter Verwendung des Satzes von Wick können wir dies explizit schreiben als

⟨ P_{4} P_{3} | T (L (j) L (X)) | P_{1} P_{2} ⟩ = ⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{4} ϕ (X)^{4} : | P_{1} P_{2} ⟩ + \dots + X (C (ϕ (j) ϕ (X)))^{2} ⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{2} ϕ (X)^{2} : | P_{1} P_{2} ⟩ + \dots

$\langle p_4 p_3 | T( \mathcal L(y) \mathcal L(x)) | p_1 p_2 \rangle = \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^4 \phi(x)^4 : | p_1 p_2 \rangle + \dots + X(\text{C}(\phi (y) \phi(x)))^2 \langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle + \dots$ wobei Punkte auf andere Diagramme hinweisen, die nicht von Interesse sind,

L (x) = - \frac{λ}{4} ϕ (x)^{4}

$\mathcal L(x) = -\frac{\lambda}{4} \phi(x)^4$ Und

X

$X$ ist die Anzahl der Möglichkeiten der Kontraktion

(C (ϕ (y) ϕ (x)))^{2}

$(\text{C}(\phi(y) \phi(x)))^2$ gebildet werden kann.

Es sind vier möglich $\phi(x)$ Felder, die mit vier möglichen kontrahiert werden können $\phi(y)$ Felder. Dies bedeutet, dass eine einzelne Kontraktion angezeigt wird $4 \cdot 4$ mal. Dann sind es drei $\phi(x)$ Felder zum Vertrag mit drei $\phi(y)$ Felder. Dies gibt einen Faktor $3 \cdot 3$ . Um eine Überzählung zu vermeiden, dividieren wir durch $2!$ . Deshalb,

X = \frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}

$X = \frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}$

Nun können wir den verbleibenden Korrelator schreiben, in dem die Felder mit den externen Zuständen „in“ und „out“ in Bezug auf Felderzeugungs- und -vernichtungsoperatoren kontrahiert sind, um zu ergeben

⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{2} ϕ (X)^{2} : | P_{1} P_{2} ⟩ = 4 ⟨ P_{4} P_{3} | (ϕ (j)^{-} ϕ (X)^{-} ϕ (j)^{+} ϕ (X)^{+}) | P_{1} P_{2} ⟩ .

$\langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle = 4 \langle p_4 p_3 |(\phi(y)^- \phi(x)^- \phi(y)^+\phi(x)^+ )| p_1 p_2 \rangle.$ wo wir explizit normal bestellt haben. Die Berechnung führt zu

⟨ P_{4} P_{3} | : ϕ (j)^{2} ϕ (X)^{2} : | P_{1} P_{2} ⟩ = 4 (e^{- ich (P_{1} + P_{2}) j} e^{ich (P_{3} + P_{4}) X} + {\begin{cases} P_{1} \to - P_{4} \\ P_{2} \to P_{1} \\ P_{3} \to P_{3} \\ P_{4} \to - P_{2} \end{cases} + {\begin{cases} P_{1} \to - P_{4} \\ P_{2} \to P_{2} \\ P_{3} \to P_{3} \\ P_{4} \to - P_{1} \end{cases} + {j \leftrightarrow X})

$\langle p_4 p_3 | : \phi(y)^2 \phi(x)^2 : | p_1 p_2 \rangle = 4 \left(e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x} + \begin{cases} p_1 \rightarrow -p_4 \\ p_2 \rightarrow p_1 \\ p_3 \rightarrow p_3 \\ p_4 \rightarrow -p_2 \end{cases} + \begin{cases} p_1 \rightarrow -p_4 \\ p_2 \rightarrow p_2 \\ p_3 \rightarrow p_3 \\ p_4 \rightarrow -p_1 \end{cases} + \left\{ y \leftrightarrow x \right\} \right)$ wobei die Permutationen der Impulse innerhalb der geschweiften Klammern zu den führen

t

$t$ Und

u

$u$ Kanal-Dinosaurier-Diagramme. Konzentration nur auf die

s

$s$ Kanalbeitrag und wieder einfügen in den

T

$\mathcal T$ Matrixelement erhalten wir den Ausdruck

A = \frac{(- λ)^{2}}{(4!)^{2}} \int D^{4} j D^{4} X \frac{{ich}^{2}}{2!} (\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}) (ich Δ_{F} (j - X))^{2} 4 (e^{- ich (P_{1} + P_{2}) j} e^{ich (P_{3} + P_{4}) X} + (j \leftrightarrow X)),

$\mathcal A = \frac{(- \lambda)^2}{(4!)^2} \int \text{d}^4 y \,\,\text{d}^4 x \frac{\mathrm{i}^2}{2!} \left(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}{2!}\right) (\mathrm{i} \Delta_F(y-x))^2 4(e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x} + (y \leftrightarrow x)),$ mit

(C (ϕ (y) ϕ (x)))^{2} \equiv (i Δ_{F} (y - x))^{2}

$(C(\phi(y) \phi(x)))^2 \equiv (\mathrm{i} \Delta_F (y-x))^2$ , der Feynman-Propagator. Der

(y \leftrightarrow x)

$( y \leftrightarrow x)$ Term liefert den gleichen Beitrag wie der angezeigte, leicht ersichtlich durch Umbenennen der Indizes auf den Raum-Zeit-Maßen. Sammelt man alle Zahlenfaktoren vor der Integration, so gelangt man zu

A = \underset{1 / 2}{\underset{⏟}{(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}{4! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 2!})}} (- ich λ)^{2} \int D^{4} j D^{4} X (ich Δ_{F} (j - X))^{2} e^{- ich (P_{1} + P_{2}) j} e^{ich (P_{3} + P_{4}) X}

$\mathcal A = \underbrace{\left(\frac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2}{4!\cdot 4! \cdot 2! \cdot 2!}\right)}_{1/2} (-\mathrm{i}\lambda)^2 \int \text{d}^4 y \,\,\text{d}^4 x \,\,(\mathrm{i} \Delta_F(y-x))^2 e^{-i(p_1 +p_2)y} e^{i (p_3+p_4)x}$ Dies ist die Koordinatenraumdarstellung (leicht wiederhergestellt unter Verwendung der Feynman-Regeln im Positionsraum) des betreffenden Diagramms mit Symmetriefaktor

S = 2

$S = 2$ .

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