Feynman-Regeln für zwei verschiedene wechselwirkende Felder

Ich studiere gerade, wie man Feynman-Regeln für allgemeine Theorien herleitet, und ich habe es geschafft, sie für abzuleiten ϕ 3 Und ϕ 4 Theorien. Bis zu diesem Punkt habe ich für alle Fälle dasselbe Feld betrachtet und die Feynman-Regeln abgeleitet, indem ich den Wechselwirkungsterm im Korrelator erweitert und Wicks Theorem verwendet habe, um die Kontraktionen vorzunehmen.

Meine Frage ist, wenn wir eine interagierende Theorie für zwei verschiedene Felder betrachten, wie könnten wir die Feynman-Regeln aus dem Wick-Theorem ableiten. Betrachten Sie zum Beispiel den Zerfall eines Teilchens, der durch den wechselwirkenden Lagrange-Term gegeben ist

L ich N T = − λ Φ ϕ 2

Wir sehen direkt, dass es nur Knoten mit 3 Linien hat. Wenn ich die Exponentialfunktion erweitere, die normalerweise daraus entsteht:

exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) = 1 + ( ich λ ) ∫ D 4 j Φ j ϕ j 3 + ( ich λ ) 2 ∫ D 4 j 1 D 4 j 4   Φ j 1 ϕ j 1 3 Φ j 2 ϕ j 2 3 + . . .

Allerdings bin ich mir nicht sicher, welche Begriffe ich für die Korrelatoren schreiben soll. Betrachten wir der Einfachheit halber den 2-Partikel-Korrelator:

⟨ Ω | T [ ϕ 1 ϕ 2 ] | Ω ⟩ = lim T → ∞ ⟨ 0 | T [ ϕ 1 ϕ 2 exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) ] | 0 ⟩ ⟨ 0 | exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) | 0 ⟩

Konzentrieren wir uns auf den Zähler, der entweder sein könnte:

N ( X 1 , X 2 ) = ⟨ 0 | ϕ X 1 ϕ X 2 exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) | 0 ⟩

Oder könnte es sein:

N ( X 1 , X 2 ) = ⟨ 0 | ϕ X 1 Φ X 2 exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) | 0 ⟩

Oder es könnte sogar sein:

N ( X 1 , X 2 ) = ⟨ 0 | Φ X 1 Φ X 2 exp ⁡ ( − ich λ ∫ D 4 j   Φ ϕ 2 ) | 0 ⟩

Welche sollte ich für die Erweiterung in Betracht ziehen?

Es ist hilfreich, sich Ihre Felder als Elemente eines skalaren Multipletts (eines 2d-Spaltenvektors) vorzustellen. Was Sie dann erhalten, ist nur die normale kubische Theorie, aber mit Massen- und Wechselwirkungstermen, die durch Matrizen ersetzt werden. Das war ein Hinweis. Die Antwort wurde bereits von Accidental gepostet.
Das ist eigentlich eine interessante Idee, und wenn ich sie so sehe, bekomme ich tatsächlich die kubischen Theoriebeziehungen. Ich versuche auch von diesem Ansatz aus zu arbeiten.

Antworten (1)

Alle drei Ausdrücke sind richtig, aber sie repräsentieren unterschiedliche Objekte. Der erste repräsentiert (den Zähler von) die Korrelationsfunktion

⟨ 0 | T { ϕ ( X 1 ) , ϕ ( X 2 ) } | 0 ⟩ ,
der zweite (der Zähler von) die Korrelationsfunktion
⟨ 0 | T { ϕ ( X 1 ) , Φ ( X 2 ) } | 0 ⟩ ,
und die dritte (der Zähler von) die Korrelationsfunktion
⟨ 0 | T { Φ ( X 1 ) , Φ ( X 2 ) } | 0 ⟩ .

Diese drei Korrelationsfunktionen sind sinnvoll. In der Störungstheorie und wie im OP erwähnt, sind diese drei Objekte gegeben durch

⟨ 0 | T { ϕ ( X 1 ) , ϕ ( X 2 ) } | 0 ⟩ = ⟨ 0 ^ | T { ϕ ^ ( X 1 ) , ϕ ^ ( X 2 ) , exp ⁡ [ ich ∫ L ich N T ( ϕ ^ , Φ ^ ) ] } | 0 ⟩ ⟨ 0 | T { ϕ ( X 1 ) , Φ ( X 2 ) } | 0 ⟩ = ⟨ 0 ^ | T { ϕ ^ ( X 1 ) , Φ ^ ( X 2 ) , exp ⁡ [ ich ∫ L ich N T ( ϕ ^ , Φ ^ ) ] } | 0 ^ ⟩ ⟨ 0 | T { Φ ( X 1 ) , Φ ( X 2 ) } | 0 ⟩ = ⟨ 0 ^ | T { Φ ^ ( X 1 ) , Φ ^ ( X 2 ) , exp ⁡ [ ich ∫ L ich N T ( ϕ ^ , Φ ^ ) ] } | 0 ^ ⟩
wobei ein Hut einen Interaktionsbildoperator darstellt, ψ ^ := U ψ U † , mit ψ ∈ { ϕ , Φ } Und | 0 ^ ⟩ = U | 0 ⟩ , und die unbehüteten Objekte befinden sich im Heisenberg-Bild (vgl. diesen PSE-Beitrag ). (Ich vernachlässige die Nenner, um die Notation so einfach wie möglich zu halten; sie spielen hier keine wichtige Rolle).

Reparieren: | 0 ⟩ → | 0 ^ ⟩ .
Ich sehe, dann sind alle richtig, aber sie stellen unterschiedliche Objekte dar (keine Sorge wegen des Nenners, ich weiß, dass am Ende nur die sogenannten Vakuumblasen aufgehoben werden). Ich habe die drei Objekte entwickelt, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich die Feynman-Regeln daraus ableiten oder darstellen soll, da ich zwei verschiedene Bereiche kontrahiere. Zum Beispiel der Korrelator für ϕ X 1 , Φ X 2 , wenn ich die zweite Ordnung nehme (also ziehen sich alle Felder zusammen, da sie nicht Null sind), haben wir: − ich λ ∫ D 4 j 1 D 4 j 2 ⟨ 0 | ϕ X 1 Φ X 2 Φ j 1 ϕ j 1 ϕ j 1 Φ j 2 ϕ j 2 ϕ j 2 + . . . | 0 ⟩ .
Die erste nicht-triviale Kontraktion wäre (ich stelle Kontraktionen mit Superindizes dar): ϕ X 1 A Φ X 2 C Φ j 1 A ϕ j 1 B ϕ j 1 B Φ j 2 C ϕ j 2 D ϕ j 2 D . Das bedeutet, dass es in der Feynman-Notation eine Linie gibt, die sich verbindet X 1 Zu j 1 , und eine Schleife an genau demselben Punkt; das gleiche passiert für X 2 , die mit verbindet j 2 , und eine Schleife an genau demselben Punkt. Wie kann ich jedoch zwischen den Feldern unterscheiden? Soll ich für jeden Scheitelpunkt eine andere Figur einführen?
Ich denke, es ist wichtig, eine konsistente Notation zu verwenden. Es ist besser zu verwenden ϕ , Φ für Heisenbergfelder und ϕ ^ , Φ ^ für Interaktionsbildfelder. Kontraktionen betreffen insbesondere letztere, nicht erstere. Davon abgesehen hat man ϕ ^ ϕ ^ ¯ = Δ ϕ , Φ ^ Φ ^ ¯ = Δ Φ , Und ϕ ^ Φ ^ ¯ = 0 . Sie schließen also nur ab ϕ Felder untereinander, und Φ Felder untereinander. Sie schließen keinen Vertrag ϕ Felder mit Φ Felder.
Die Standardnotation ist die Verwendung von durchgezogenen Linien für ϕ ^ ϕ ^ ¯ = Δ ϕ , und gestrichelte (oder, sagen wir, wackelige) Linien für Φ ^ Φ ^ ¯ = Δ Φ . In Ihrer Theorie hat jeder Scheitelpunkt zwei durchgezogene Linien und eine gestrichelte, weil L ich N T hat zwei Faktoren ϕ und ein Faktor von Φ . (Vielleicht finden Sie diesen PSE-Beitrag nützlich).
Ich verstehe, dann bestand mein Problem darin, verschiedene Felder untereinander zu kontrahieren. Ich hatte eigentlich erwartet, dass jeder Scheitelpunkt zwei durchgezogene und eine gestrichelte Linie hat, wie Sie erwähnt haben, aber jetzt sehe ich, wie ich es ableiten kann. Danke, ich werde versuchen, die Korrelatoren in diesem Sinne zu wiederholen, und diesmal sollte es funktionieren.
Feynman-Regeln für zwei verschiedene wechselwirkende Felder
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v