Wie beweist man in der λϕ4λϕ4\lambda\phi^4-Theorie, dass L=I−V+1L=I−V+1L=I-V+1?

Diese Formel ist eigentlich Eulers Formel für planare Graphen und gilt für alle Feynman-Diagramme, unabhängig davon, in welcher Theorie wir uns befinden.

Der Beweis erfolgt per Induktion und ist einfach, wenn wir zunächst den Fall der Linienkreuzung außer Acht lassen:

1. Beachten Sie, dass ein Graph mit einer Schleife zwei Scheitelpunkte, eine Schleife und zwei interne Linien hat, sodass die Formel gilt.

2. Beachten Sie, dass a$(n+1)$-Schleifengraph wird aus a erzeugt$n$-Schleifendiagramm, indem Sie entweder eine zusätzliche Linie zwischen zwei bereits vorhandenen Scheitelpunkten ziehen, die sich nicht ändert$L-I$, oder indem Sie einen neuen Scheitelpunkt hinzufügen und ihn mit zwei anderen Scheitelpunkten verbinden, was sich nicht ändert$L-I+V$.

3. Nach Induktion gilt die Formel für alle Graphen mit endlich vielen Schleifen.

Formaler können wir das sagen

Ein Feynman-Diagramm heißt planar , wenn der adjungierte Graph, der durch Verbinden aller äußeren Linien mit einem einzigen Knoten entsteht, planar ist .

und dann haben wir bis jetzt bewiesen, dass die Formel für alle planaren Feynman-Graphen gilt. Interessanterweise nicht einmal alle$\phi^4$Graphen sind planar. In Betracht ziehen$2\to 2$(oder$1\to 3$)-Streuung mit einem Kastendiagramm, bei dem jede äußere Linie mit ihrem eigenen Scheitelpunkt verbunden ist und jeder Scheitelpunkt mit jedem anderen Scheitelpunkt verbunden ist. Der adjungierte Graph ist der vollständige Graph auf fünf Scheitelpunkten, von dem bekannt ist, dass er nicht planar ist.

Dennoch gilt die „Feynman-Euler-Formel“

$$L-I+V = 1$$ wegen der formalen Zählweise der Schleifen immer noch gilt. Nach der allgemeinen Euler-Formel $$\#\{\mathrm{vertices}\} - \#\{\mathrm{edges}\} + \#\{\mathrm{faces}\} = 2 - 2g$$ Wo $g$ist die Gattung der Oberfläche, auf der der Graph ohne Schnittpunkte gezeichnet werden kann, und "Flächen" sind alle Bereiche, die durch Kanten begrenzt sind. Eine "Fläche" muss nicht an jeder Ecke einen Scheitelpunkt haben. Wenn Sie also zwei sich kreuzende Linien in einem Feynman-Diagramm erhalten, erhalten Sie zwei zusätzliche Flächen, die Sie nicht als Schleifen zählen - das obige Kästchen $\phi^4$Diagramm hat vier Seiten innerhalb der Box, aber nur zwei Schleifen.

Da jede Kreuzung von Linien, die nicht durch Verformung des Graphen beseitigt werden kann (und daher eine "echte Kreuzung" ist und nicht nur wir zu dumm sind, den Graphen richtig zu zeichnen), die Gattung erhöht, auf der Sie den Graphen ohne Kreuzungen zeichnen könnten$1$, die "Feynman-Euler-Formel" für alle Graphen folgt aus der allgemeinen Euler-Formel.

Seite 140 von Srednickis QFT-Lehrbuch liefert einen viel einfacheren Beweis:

Dies kann man sehen, indem man die Anzahl der internen Impulse und die Beschränkungen zwischen ihnen zählt. Weisen Sie insbesondere jeder internen Linie ein unfixiertes Momentum zu; es gibt [$I$] dieser Impulse. Dann ist die$V$Eckpunkte bieten$V$Einschränkungen. Eine lineare Kombination dieser Einschränkungen ergibt die Gesamtimpulserhaltung und schränkt daher die internen Impulse nicht ein. Daher ist die Anzahl der internen Impulse, die durch die Scheitelpunktbeschränkungen nicht festgelegt sind,$[I] − (V−1)$, und die Anzahl der nicht fixierten Impulse ist gleich der Anzahl der Schleifen L.