Symmetriefaktor für Feynman-Diagramme in der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie für nnn-Punkte Grüne Funktion

Ich arbeite mit zwei Theorien.

Theorie A:$H_{int} =\int d^3x \frac{Mg}{2}\phi\varphi^2$

Theorie B:$\phi^4$-Interaktion:$H_{int} = \int d^3 x \frac{\lambda}{4!}\phi(x)^4$

Wo$M$ist die dem Feld zugeordnete Masse$\phi$.

Ich muss die berechnen$n$-Punkte Green-Funktion auf Baumebene für diese Theorien,$G^A(p_1,…,p_n)$,$G^B(p_1,…,p_n)$, unter Berücksichtigung der Grenze$M\rightarrow + \infty$ für die Streuung von Skalarteilchen von$\varphi$Feld

In allen folgenden Diagrammen$v$ist die Gesamtzahl der Scheitelpunkte und der externen Propagatoren (durch die Pfeile angegeben).$n$.

Feynman-Diagramm für Theorie A

Lassen Sie uns mit der Theorie A arbeiten und versuchen, den Symmetriefaktor dieses Diagramms zu berechnen. Wenn wir haben$n$also externe Propagatoren$n = v+2$. Die Anzahl der Propagatoren des Feldes$\phi$Ist$\#_{\Delta_\phi} = v/2$, während die Zahl der$\Delta_\varphi$Ist$\#_{\Delta_\varphi} = v/2-1$und so ist die Gesamtzahl der Propagatoren$\#_\Delta = v-1 = n-3$. Ich berechne den Symmetriefaktor als

$$\frac{1}{S!} = \frac{1}{2^v}2^2 3^{\#_{\Delta_\varphi}}2^{\#_{\Delta_\varphi}} = \frac{1}{2^v}2^2 6^{\frac{v}{2}-1} = \left( \frac{3}{2}\right)^{\frac{v}{2}-1}$$

weil die Anfangs- und Endknoten 2 mögliche gleiche Konfigurationen haben (Punkt$p_1$kann auf zwei verschiedene Arten mit dem anfänglichen Scheitelpunkt kontrahiert werden, dasselbe gilt für$p_n$) und tragen dann mit a bei$2^2$Faktor. Dann für jeden internen$\varphi$-Propagator haben wir$3\cdot 2$Möglichkeiten, externe Impulse und Scheitelbeine zu kontrahieren, um ein solches Diagramm zu erhalten.

Ist es wahr oder übersehe ich etwas?

Feynman-Diagramm für Theorie B

In diesem Fall$n = 2(v+1)$,$\#_{\Delta_\varphi} = v-1 = (n-4)/2$.

ich würde sagen$1/S! = 1$denn für jeden Knoten gibt es$4!$mögliche Wege, Beine und externe Impulse zu kontrahieren und so,

$$\frac{1}{S!} = \frac{1}{(4!)^v}(4!)^v = 1$$

Aber ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist ... Was ist der Symmetriefaktor eines solchen Diagramms? Wie leitet man es ab?