Kompliziertes Lagrangian - Überprüfen der Feynman-Regeln

Ich habe das folgende Beispiel Lagrange:

L = [ ψ ¯ ( ich D − M ) ψ − 1 4 F μ v F μ v ] + + ∑ ich = 1 , 2 [ ( D μ ϕ ich ) ( D μ ϕ ich ) † − M ich 2 | ϕ ich | 2 ] + + 1 2 [ χ † γ 0 ( ich ∂ − M χ ) χ ] + + 2 λ [ ϕ 1 χ † γ 0 P L ψ − ϕ 2 χ † γ 0 P R ψ + hc ]

Mit D μ = ∂ μ − ich λ A μ , P R / L = ( 1 ± γ 5 ) / 2 . Das Feld ψ ist ein Fermion, das ϕ ich sind komplexe Skalarfelder und χ ist ein Majorana-Fermion. Ich möchte die Feynman-Regeln aufschreiben.

Jetzt ist die erste Klammer nur ein normaler QED-Lagrange, also enthält sie die ψ und Photonenpropagatoren und der übliche Interaktionsscheitel. In ähnlicher Weise enthält die zweite Klammer die zwei komplexen Skalarfelder, die mit dem elektromagnetischen Feld gekoppelt sind, also sind es im Grunde nur zwei skalare QED-Lagrangianer.

Bei der dritten Klammer bin ich mir nicht sicher, weil ich überhaupt nicht weiß, wie man Majorana-Fermionen behandelt. Es ist der kinetische Begriff, und der einzige Unterschied ist das Vorhandensein von γ 0 , aber ich bin mir nicht sicher, wie das im Propagator erscheinen soll? Wird es einfach multipliziert, wie:

γ 0 ich P − M χ + ich ϵ ?

Wenn ja, woher weiß ich, auf welcher Seite ich die Gamma-Matrix anbringen soll?

Was die vierte Klammer betrifft, so finden die Wechselwirkungen zwischen einem der komplexen Skalarfelder statt, dem Majorana-Spinor und einem Dirac-Spinor. Ich weiß nicht, wie ich die Projektion und Gamma darin einbeziehen soll. Sind die Scheitelpunkte nur:

2 λ γ 0 P R / L ?

Wie werden die Eckpunkte aussehen?

Im Allgemeinen besteht mein Problem darin, herauszufinden, wie man Objekte wie die Gammamatrizen oder Projektionsoperatoren in die entsprechenden Feynman-Regeln für seltsame Wechselwirkungen wie diese einbezieht.

Antworten (1)

Betrachten Sie die Majorana-Spinoren als „echte“ Spinoren, während die Dirac-Spinoren „komplex“ sind. Für ein reelles Skalarfeld gilt ϕ = ϕ ∗ , während für ein komplexes Skalarfeld ϕ Und ϕ ∗ sind unabhängige Freiheitsgrade. Ähnlich für einen Dirac-Spinor ψ Und ψ ∗ unabhängige Freiheitsgrade sind, während für einen Majorana Spinor ψ ∗ = ψ . Die Antikommutierungsbeziehungen für die Gammamatrizen sind die gleichen wie zuvor.

Um die Green-Funktion oder den Propagator des Majorana-Spinors zu finden χ , müssen Sie - identisch mit dem Fall für einen Dirac-Spinor - die Umkehrung dieses Operators finden

[ γ 0 ( ich ∂ − M χ ) ] G ( X − j ) = ich δ ( X − j )
was dir geben wird
G ( X − j ) = ∫ D 4 P ( 2 π ) 4 ich ( P + M χ ) γ 0 P 2 − M 2 + ich ϵ e − ich P ⋅ ( X − j )
Beachten Sie, dass γ 0 P γ 0 k = γ 0 γ μ ∂ μ γ 0 γ v ∂ v = − ( γ 0 ) 2 γ μ ∂ μ γ v ∂ v . Sie müssen daher die setzen γ 0 im obigen Propagator rechts, um sicherzustellen, dass das Minuszeichen aufgehoben wird (wie jedes Mal, wenn Sie die ziehen γ 0 'durch ein P es erhält ein Minuszeichen).

Weil der Majorana-Spinor "echt" ist, χ Und χ ∗ sind gleich. ψ ist ein Dirac-Spinor und hat daher verschiedene chirale Komponenten (die sich aus den Projektionsoperatoren ergeben P L Und P R ). Die Interaktionsterme sagen Ihnen, dass dieser Majorana-Spinor χ interagiert mit den unterschiedlichen chiralen Teilen (den links- und rechtshändigen Komponenten) des Dirac-Spinors ψ auf veschiedenen Wegen

2 λ χ † γ 0 [ ϕ 1 P L − ϕ 2 P R ] ψ + hc
Wenn Sie Feynman-Diagramme erstellen möchten, bedeutet dies, dass wir überall zwischen den Diagrammen für zwei unterscheiden müssen ϕ 1 Und ϕ 2 , Und P L ψ Und P R ψ , da diese verschiedenen Komponenten der Felder auf unterschiedliche Weise interagieren.

Für den ersten Interaktionsterm (mit χ † , ϕ 1 Und P L ψ ) wird der Interaktionsterm tatsächlich so sein, wie Sie es gesagt haben: 2 λ γ 0 .

Ich bin mir nicht sicher, wie ich den hc-Teil schreiben soll. Wird der Projektionsoperator von R auf L wechseln? Ich möchte die Scheitelpunkte für ausschreiben χ , ϕ 1 , ψ . Auch seit χ soll ein 'echtes' Fermion sein, ist χ † = χ ?
Also zum Beispiel, wofür wird der Unterschied zwischen den Scheitelpunkten sein ( ψ ¯ , χ , ϕ 1 ) Und ( ψ , χ † , ϕ 1 † ) ? P L antipendelt mit γ 0 , also bekomme ich ein P R aus dem Recht?
Denken Sie daran, dass die Projektionsoperatoren geschrieben werden können als P R , L = ( 1 ± γ 5 ) Und γ 5 † = γ 5 .
richtig, also wenn ich konjugiere γ 0 P L Ich werde bekommen P L γ 0 = γ 0 P R seit { γ 0 , γ 5 } = 1
Ja. (In meinem vorherigen Kommentar sollte es heißen P R , L = 1 2 ( 1 ± γ 5 ) , aber es ist nicht sehr relevant) In der Tat, ( γ 0 P L ) † = γ 0 P R wie du zeigst.
Übrigens, beachten Sie, dass die P R du bekommst in deinem beispiel werke weiter ψ † von rechts. Also das hermitesche Konjugierte des Begriffs ϕ 1 χ † ( γ 0 P L ψ ) wird sein ϕ 1 ∗ ( ψ † P L γ 0 ) χ , mit dem linkshändigen Teil von ψ † und wieder die γ 0 im Interaktionsterm. Du willst die P L direkt am arbeiten ψ † daneben, damit Sie sehen können, dass der Interaktionsterm die beinhaltet γ 0 das ist der Begriff 'zwischen' den Feldern, ( ψ † P L ) γ 0 ( χ ) .
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