Dirac Current Spectral Representation

Ich lese Strocchis Buch über The Non-Perturbative Foundations of Quantum Field Theory.

Im Kapitel über die punktaufteilende Regularisierung, wo der freie Dirac-Strom wie folgt definiert ist

$$j_\mu(x)\equiv \lim_{\epsilon\to0}\left[\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)-\langle\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)\rangle\right]$$ Um dem Produkt zweier am selben Punkt ausgewerteter Verteilungen eine genaue Bedeutung zu geben, gibt es die folgende Behauptung über die spektralen Eigenschaften der aktuellen Kommutatorfunktion: $$\langle[j_\mu(x),j_\nu(y)]\rangle = (\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta(x-y;\mu^2)$$ bei dem die $i\Delta(x-y;\mu^2)$ist die Kommutatorfunktion eines freien Skalarfeldes der Masse $\mu$, Und $$\rho(\mu^2)= \frac{1}{3(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{\mu^2}}\left(1+\frac{2m^2}{\mu^2}\right).$$ Der Tipp ist, dieses Spektrum zu berechnen, indem man einen vollständigen Satz von Zuständen von Elektron-Positron-Paaren einsetzt. Wie kann ich das machen?

Ich habe versucht, sie in die 2-Punkt-Funktion einzufügen, um Folgendes zu erhalten: (Ich behalte die Spin-Bezeichnung implizit in der Summe über den gesamten Satz)

$$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})} \langle j_\mu(x)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(y)\rangle=\\ =\int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)} \langle j_\mu(0)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(0)\rangle$$ Jetzt kann ich einen Lorentz-Boost in Betracht ziehen $\Lambda_\mathbf{k}$so dass es uns in das Ruhesystem des Einteilchenzustands bringt $|\mathbf{k};\mu^2\rangle$: $U(\Lambda_\mathbf{k})|\mathbf{k};\mu^2\rangle=|\mathbf{0};\mu^2\rangle$, und durch Kovarianz des (Vektor-)Stroms $j_\mu$wir haben $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}(\Lambda_\mathbf{k})^\rho_\mu(\Lambda_\mathbf{k})^\lambda_\nu.$$ Unter der Annahme, dass die obige Struktur korrekt ist, da der Differentialoperator $\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu$durch die Lorentz-Kovarianz und die Stromerhaltung diktiert wird, haben wir tatsächlich: $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle=(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta^+(x-y;\mu^2)=\\ =(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}=\\ =\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{-\mu^2 g_{\mu\nu}+k_\mu k_\nu}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}$$ und indem wir beide Ausdrücke verfolgen und gleichsetzen, erhalten wir, da $\Lambda_\mu^\rho g^{\mu\nu}\Lambda_\nu^\lambda=g^{\rho\lambda}$: $$\rho(\mu^2)=-\frac{g^{\rho\lambda}}{3\mu^2}\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle.$$ Mein Problem ist hier: das Matrixelement $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle$$ scheint identisch zu verschwinden, da es drei Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren in einem Vakuum-Erwartungswert gibt! Was habe ich verpasst?

(BEARBEITEN)

Ok, ich denke, ich muss über Teilchen-Antiteilchen-Zwischenzustände summieren und nicht nur über einzelne Teilchenzustände, die dazu führen, dass das vev identisch verschwindet.

Angabe des invarianten Phasenraumelements als

$$\int d\Pi(\mathbf{k})\equiv\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{k})}$$ wir bekommen, lassen $\mathbf{k}$Und $\mathbf{p}$sei der Impuls von Elektron bzw. Positron und $q^2$das Quadrat der Schwerpunktsenergie $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \int d\Pi(\mathbf{k})\int d\Pi(\mathbf{p}) \langle j_\mu(x)|\mathbf{k},\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{k},\mathbf{p};q^2| j_\nu(y)\rangle$$ Jetzt kann ich einen Lorentz-Boost in Betracht ziehen $\Lambda$das bringt uns in den Schwerpunktrahmen des Teilchen-Antiteilchen-Zustands und durch Kovarianz des (Vektor-)Stroms $j_\mu$wir haben $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j_\lambda(0)\rangle \frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}} \int \frac{d^3P}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{P})}e^{-iP\cdot(x-y)}(\Lambda)^\rho_\mu(\Lambda)^\lambda_\nu,$$ wo wir eine Vereinfachung im 2-Körper-Phasenraumintegral durchgeführt haben (Peskin, Seite 107), obwohl ich mir nicht sicher bin, wie ich die Integration über Raumwinkel loswerden kann $d\Omega$, die normalerweise in die Definition des Querschnitts eingeht.

Durch Verfolgen mit$g^{\rho\lambda}$erhalten wir im Vergleich zum obigen allgemeinen Ausdruck für die 2-Punkt-Funktion:

$$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}}\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j^\rho(0)\rangle;$$ mit ein bisschen Dirac-Algebra: lassen $p_1=(\omega(\mathbf{p}),\mathbf{p})$, $p_2=(\omega(\mathbf{p}),-\mathbf{p})$ $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2| j^\rho(0)\rangle=-\text{Tr}\left[(\hat p_1+m)\gamma_\rho(\hat p_2-m)\gamma^\rho\right]=-8(2m^2+p_1\cdot p_2)$$ und da $$|\mathbf{p}|=\sqrt{\omega(\mathbf{p})^2-m^2}=\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}$$ wir bekommen $$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}}{(2\pi)^24E_{CM}}[-8(2m^2+p_1\cdot p_2)]=\frac{1}{6(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}\left(\frac{2m^2}{q^2}+1\right)$$ das sieht gut aus ein Teil vom zusätzlichen Faktor 2 im Nenner.