Wie leitet man diese Matsubara-Summe ab, wie sie in Wikipedia dargestellt ist?

Auf der Wikipedia-Seite für Matsubara-Frequenzen wird die folgende Formel dargestellt:

∑ ich ω N ( ich ω N ) 2 ( ich ω N ) 2 − ξ 2 = − ξ 2 ( 1 − 2 N FD ( ξ ) ) ,
Wo ω N = ( 2 N + 1 ) π / β sind fermionische Matsubara-Frequenzen und N FD ( X ) := ( e β X + 1 ) − 1 ist die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion.

Ich bin mit dem Residuensatz vertraut und kann „leichtere“ Ergebnisse mit Matsubara-Summen ableiten. In diesem Fall sehe ich jedoch nicht, wie ich das Ergebnis ableiten soll. Ich denke, es ist notwendig, den üblichen Konvergenzfaktor einzubeziehen e ich ω N η mit η → 0 am Ende der Berechnung, sonst würde die Summe nicht einmal konvergieren. Jede Hilfe oder Referenz wäre willkommen.

Der Grund, warum ich das frage, ist, dass ich eigentlich eine Matsubara-Summe der Form auswerten möchte

∑ ich ω N ( ich ω N ) 2 ( ich ω N − ξ 1 ) ( ich ω N − ξ 2 ) .

Antworten (1)

Es stellt sich heraus, dass ich etwas Offensichtliches übersehen habe. Meine Überlegung war: Es befinden sich zwei Pole an ich ω N = ± ξ , wie kommt es, dass nur an einem Pol eine Fermi-Dirac-Verteilung ausgewertet wird? Verwendung der Identität N FD ( − X ) = 1 − N FD ( X ) löst dieses Problem. Indem man die üblichen Schritte durch Punkte anzeigt (in die komplexe Ebene gehen; die Kontur angemessen schließen usw.), erhält man

∑ ich ω N ( ich ω N ) 2 ( ich ω N ) 2 − ξ 2 = ∑ ich ω N ( ich ω N ) 2 ( ich ω N − ξ ) ( ich ω N + ξ ) = … = ξ 2 2 ξ N FD ( ξ ) + ξ 2 − 2 ξ N FD ( − ξ ) = − ξ 2 ( 1 − 2 N FD ( ξ ) )

Wie leitet man diese Matsubara-Summe ab, wie sie in Wikipedia dargestellt ist?
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