Leiten Sie ein nichtlineares σσ\sigma-Modell aus einer Theorie der SU(2)-Matirx ab

In Kapitel VI.4 von A. Zees Buch Quantum Field Theory in a Nutshell heißt es , eine Theorie sei definiert als$L(U(x))=\frac{f^2}{4}Tr(\partial_{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U)$, kann in Form eines nichtlinearen geschrieben werden$\sigma$Modell (bis zu einer bestimmten Ordnung)

$L=\frac{1}{2}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2+...$,

Wo$U(x)=e^{\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}}$ist ein matrixwertiges Feld, das zu gehört$SU(2)$,$\vec{\pi}$ist ein Drei-Komponenten-Vektor,$\vec{\tau}$sind Pauli-Matrizen. Vielleicht ist es nicht schwer, aber ich stoße auf einige Probleme, es abzuleiten.

Ich nehme an, der erste Schritt ist die Taylor-Entwicklung von$U$,$U=1+\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}-\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})^2+...$, und dann$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})-\frac{1}{f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})$, Dann

$(\partial_{\mu}U^{\dagger})(\partial^{\mu}U)=\frac{1}{f^2}[\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2+\frac{1}{f^4}.[(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2$.

Jetzt kommen meine Fragen,

(1) Kann ich schreiben$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$? Dann vorbei$\vec{\tau}^2=1$, Ich bekomme

$L=\frac{1}{4}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{4f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2$,

was fast richtig ist, aber um einen Vorfaktor von der gewünschten Antwort abweicht$\frac{1}{2}$.

(2) Angenommen$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$ist aber richtig, wenn ich das tue$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$erstens, so scheint es$\partial^{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U=|\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}|^2=\frac{1}{f^2}(\partial\vec{\pi})^2$, sagen wir, nur der erste Begriff der gewünschten Antwort.

Ich habe wahrscheinlich irgendwo etwas falsch gemacht, kann mich jemand schlagen?