Ableitung der Lagrange-Dichte für ein unendliches klassisches Dielektrikum in Wechselwirkung mit dem EM-Feld

In dieser Antwort arbeiten wir mit Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist$c=1$, und Minkowski-Signatur$(-,+,+,+)$.

Die Lagrange-Dichte (3) wird in cgs-Einheiten angezeigt

Es besteht aus 3 Begriffen:

1. Ein Standardbegriff von EM Maxwell.

2. Ein Quellterm mit begrenztem 4-Strom

   $$J^{\mu}_b~=~(\rho_b, {\bf J}_b) ~=~(-{\bf \nabla}\cdot {\bf P},{\bf \nabla}\times {\bf M}+ \dot{\bf P}),$$ wo Magnetisierung${\bf M}={\bf 0}$. Es gibt keinen freien 4-Strom$J^{\mu}_f=0$. Der Quellterm lautet $$A_{\mu} J^{\mu}_b~\sim~{\bf E}\cdot{\bf P}+{\bf B}\cdot{\bf M}$$ modulo ein totaler Divergenzterm, der die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht beeinflusst.

3. Ein harmonischer Oszillator mit der Polarisation${\bf P}$als dynamische Variable und mit Frequenz$\omega_0$. Die Variation der Lagrange-Dichte (3) bzgl.${\bf P}$führt auf die konstitutive Gleichung

   $$\tag{4}\frac{1}{\omega_0^2}\ddot{\bf P} +{\bf P}~=~ \beta {\bf E},$$ vgl. Ref. 1. Gl. (4) ist der Hauptgrund, den dritten Term in der Lagrange-Dichte (3) hinzuzufügen. Der harmonische Oszillator von${\bf P}$wird durch das elektrische Feld angetrieben${\bf E}$mit einer Kopplungskonstante$\beta$.

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die Variation der Lagrange-Dichte (3) bzgl. das 4-Gauge-Potenzial$A_{\mu}$führt zu den Maxwell-Gleichungen (Gaußsches und Amperesches Gesetz).

Verweise:

1. JJ Hopfield, Theorie des Beitrags von Exzitonen zur komplexen Dielektrizitätskonstante von Kristallen, Phys. Rev. 112 (1958) 1555 .

Ich werde Konstanten setzen wie$c$gleich eins.

Dann beginnt er mit dem normalen relativistischen Lagrangian,$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} - A^\alpha J_\alpha$. Wenn wir dies in eine nicht-relativistische Sprache übersetzen, erhalten wir$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(E^2 - B^2) - \phi \rho + \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}$.

An diesem Punkt scheint er nun keine freien Ladungen oder Ströme und keine Magnetisierung anzunehmen. Daher ist die mikroskopische Ladungsdichte die gebundene Ladungsdichte$\rho_b = -\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P}$, und die mikroskopische Stromdichte hängt mit Änderungen der Polarisation zusammen:$\mathbf{J} = \mathbf{J}_b = \partial_t \mathbf{P}$Dann$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(E^2 - B^2) + \phi \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{A} \cdot \partial_t \mathbf{P}$.

Erkennen$\mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{A} - \mathbf{\nabla} \phi$(Dies weicht durch ein Minuszeichen von dem ab, was er sagt, ich weiß nicht warum) und$\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}$wir haben nun$\mathcal{L} = \frac{1}{2}((\partial_t \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \phi)^2 - (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A})^2) + \phi \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{A} \cdot \partial_t \mathbf{P}$Dies gibt uns die ersten beiden und letzten beiden Terme seines Ausdrucks bis zu Faktoren von$4 \pi$Ich denke, ich komme vom Gaußschen Gesetz, das ich ignoriert habe.

Jetzt bekomme ich seine mittleren zwei Begriffe nicht. Ich habe die Zeitung nicht gelesen. Was sind$\beta$Und$\omega_0$?