Gleichzeit-Kommutationsbeziehung des elektromagnetischen Felds

Bei der kanonischen Quantisierung des elektromagnetischen Felds in der Lorenz-Eichung wird der Gleichzeitkommutator geschrieben als:

$$[A^\mu(\vec{x},t), \pi^{\nu}(\vec{y},t)]=ig^{\mu\nu} \delta^3(\vec{x}-\vec{y}).\tag{1}$$ Das ist für mich etwas verwirrend.

Der Lagrange-Operator des freien EM-Feldes ist

$$\mathcal{L}_{EM}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu \nu}.\tag{2}$$ Somit ist der kanonische Impuls: $$\pi^{\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}_{\nu}}=-F^{0\nu} = -\partial^0A^{\nu} + \partial ^{\nu}A^0.\tag{3}$$

Also, wenn wir das schreiben$A_{\mu}$Feld in Fourier-Modus-Erweiterungen ist es:

$$A_{\mu}(x)=\int\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2|\vec{p}}|}\sum_{\lambda=0}^3\epsilon_{\mu}^{\lambda}\{a_{\vec{p}}^{\lambda}e^{-ipx} + a_{\vec{p}}^{\lambda \dagger}e^{ipx} \}.\tag{4}$$

Nach der Definition des kanonischen Impulses sollte seine Moduserweiterung sein

$$\pi_{\mu}(x) = i\int\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{|\vec{p}|}{2}}\sum_{\lambda=0}^3\epsilon_{\mu}^{\lambda}\{a_{\vec{p}}^{\lambda}e^{-ipx} - a_{\vec{p}}^{\lambda \dagger}e^{ipx} \} - i \int\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \frac{p_{\mu}}{\sqrt{2|\vec{p}}|}\sum_{\lambda=0}^3\epsilon_{0}^{\lambda}\{a_{\vec{p}}^{\lambda}e^{-ipx} - a_{\vec{p}}^{\lambda \dagger}e^{ipx} \},\tag{5}$$ wo nur der erste Term drin ist $\pi_{\mu}(x)$passt zur Vertauschungsrelation. Ist die Kommutierungsrelation falsch oder ist mein kanonischer Impuls falsch?