Gibt es entweder eine Lagrange- oder eine Hamilton-Formulierung des Elektromagnetismus mit kontinuierlichen Verteilungen magnetischer Monopole?

Die Maxwell-Gleichungen lassen sich sehr gut verallgemeinern , wenn wir magnetische Monopole hinzufügen: Wir erhalten

$$\begin{align*} \partial_\mu F^{\mu \nu} &= J^\nu \\ \partial_\mu \tilde{F}^{\mu \nu} &= \tilde{J}^\nu, \end{align*}$$ Wo $F_{\mu \nu}$ist der elektromagnetische Tensor, $\tilde{F}_{\mu \nu} := \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} F^{\rho \sigma}$ist der duale Tensor, und $J^\mu$Und $\tilde{J}^\mu$sind die elektrische bzw. magnetische Stromdichte. Wir können Differentialformen verwenden, um diese Gleichungen noch kompakter zu machen: $$\begin{align*} \mathrm{d} (\star F) &= J,\\ \mathrm{d} F &= \tilde{J}. \end{align*}\tag1$$

Es ist bekannt, dass QED verallgemeinert werden kann, um punktförmige magnetische Monopole aufzunehmen , was zu allen möglichen interessanten Phänomenen wie der Dirac-Quantisierungsbedingung führt . (Dies geschieht, indem im Wesentlichen die Monopole vollständig aus der Raumzeit entfernt und nur das Eichfeld definiert wird$A^\mu$weg von den Monopolen, so dass sie als topologische Defekte wirken, die das triviale Prinzip umwandeln$\mathrm{U}(1)$Faserbündel, auf dem das Eichfeld lebt, zu einem nichttrivialen Bündel. Dies ist einfach, wenn die Monopolbahnen von Hand angegeben werden, aber ich denke, es gibt auch einigermaßen handhabbare Möglichkeiten, den Monopolen eine eigene Dynamik zu verleihen.)

Aber was ist mit kontinuierlichen Verteilungen magnetischer Monopole? (Um Betrug zu vermeiden, sagen wir mal, dass die$\tilde{J}$Die Unterstützung des Feldes ist die gesamte Region der Raumzeit, deren Dynamik wir betrachten, obwohl sie immer noch begrenzt ist, so dass die Felder wohldefiniert sind.) In diesem Fall die Gleichung$\mathrm{d}F \neq 0$hindert uns daran, ein Eichfeld einzuführen$A$so dass$F = \mathrm{d}A$an erster Stelle. Es ist wahrscheinlich überhaupt nicht klar, wie eine solche Theorie zu quantifizieren ist, also bleiben wir einfach beim klassischen Fall. Um die Dinge noch einfacher zu machen, können wir das Lorentz-Kraftgesetz ignorieren und die Quellströme eher als Hintergrund- als als dynamische Felder behandeln, sodass wir uns nur um die zeitliche Entwicklung des EM-Felds kümmern müssen. In diesem Fall bilden die Gleichungen (1) ein perfekt wohlgestelltes System gekoppelter Differentialgleichungen. Gibt es einen bekannten/möglichen Lagrange- oder Hamiltonoperator, dessen Bewegungsgleichungen durch (1) gegeben sind?