Wie berechnet man den Hamilton-Operator aus dem Lagrange-Operator für ein nicht relativistisch geladenes Punktteilchen in einem EM-Feld?

Um die richtige Antwort klarer zu machen, gestatten Sie mir, das kanonische Momentum einzuführen $\vec{p}$, gegeben von:

$$\vec{p}=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}$$ Auf diese Weise können wir den Hamiltonoperator umschreiben als: $$H=\vec{p}\cdot\vec{\dot{x}}-L$$ Beginnen wir mit dem Rechnen $\vec{p}$: $$\vec{p}=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\vec{\dot{x}}+\dfrac{e}{c}\vec{A}(\vec{x},t)$$ Und Sie erhalten: $$\begin{align}H&=m\dot{x}^2+\dfrac{e}{c}\vec{x}\cdot\vec{A}-\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{e}{c}\vec{\dot{x}}\cdot\vec{A}+e\phi\\&=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+e\phi\end{align}$$ Aber von dem Ausdruck des kanonischen Impulses, den wir zuvor gefunden haben, können Sie umschreiben $\vec{\dot{x}}$als: $$\vec{\dot{x}}=\dfrac{1}{m}\left(\vec{p}-\dfrac{e}{c}\vec{A}\right)$$ So dass: $$\dot{x}^2=\dfrac{1}{m^2}\left|\vec{p}-\dfrac{e}{c}\vec{A}\right|^2$$ Stecken Sie dieses Ergebnis in $H$: $$H=\dfrac{1}{2m}\left|\vec{p}-\dfrac{e}{c}\vec{A}\right|^2+e\phi$$ Machen Sie den Übergang zur Quantenmechanik, indem Sie das klassische Momentum fördern $\vec{p}$zum Betreiber $\hat{p}=-i\hbar\nabla$und du bist fertig.