Maxwell-Gleichungen aus Euler-Lagrange-Gleichung: Ich erhalte immer wieder die falsche Gleichung

Ich leite die Maxwell-Gleichungen von diesem Lagrange ab:

$$\mathscr{L} \, = \, -\frac{1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu} + J^\mu A_\nu \tag{1}$$

Meine Unterschrift ist

$$(+ - - -)\tag{2}$$ Und

$$F^{\mu \nu} \, = \,\left(\begin{matrix}0 & -E_x & -E_{y} & -E_{z} \\ E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_y & B_{z} & 0 & -B_x \\ E_z & -B_{y} & -B_{x} & 0\end{matrix}\right)\tag{3}$$

Mein Verfahren ist fast genau dasselbe wie dieses: https://physics.stackexchange.com/a/14854/121554

Aber er hat eine$+\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$im Lagrange.

Während er also die richtige Gleichung erhält

$$\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, J^\nu,\tag{4}$$ Ich trage ein Minuszeichen bis zum Ende und meine letzte Gleichung ist

$$J^\nu \,=\, -\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, \partial_\mu F^{\nu \mu}\, ; \tag{5}$$

Was eindeutig falsch ist, wenn man es explizit in Abhängigkeit von den Feldern, der Ladung und den Strömen aufschreibt.

Ist mein Lagrange für meine Metrik und meine Definition des elektromagnetischen Feldtensors falsch? Wir haben im Unterricht einige Zeit damit verbracht, über diesen Lagrangian zu sprechen, und der Professor hat diesem Minuszeichen große Bedeutung beigemessen, um einen positiven kinetischen Begriff zu haben. Übersehe ich etwas?

Ich kann auf Anfrage alle meine Berechnungen aufschreiben, aber sie sind im Grunde die gleichen wie der Link, den ich oben angegeben habe.