Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

Question

Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

Physik
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
Randbedingungen
Hausaufgaben und Übungen
Klassische Elektrodynamik

harbinn

Eine EM-Welle, Amplitude $E_0$ , Frequenz $\omega_0$ , trifft auf ein Material mit relativer Permittivität (dielektrische Funktion)

ε (z) = {\begin{matrix} ε_{0}, z < 0 \\ ε_{1}, z ⩾ 0 \end{matrix}

$\varepsilon \left( z \right) = \left\{ \begin{gathered}{\varepsilon _0},z < 0 \\{\varepsilon _1},z \geqslant 0 \\ \end{gathered} \right.$

ε_{0}

$\varepsilon _0$ Und

ε_{1}

$\varepsilon _1$ sind Konstanten,

ε_{0} < ε_{1}

$\varepsilon _0 < \varepsilon _1$ , z ist die Richtung senkrecht zur Materialoberfläche. Wenn der Einfallswinkel 0 ist und

E

$\mathbf{E}$ ist dann senkrecht zur Einfallsebene

E

$E$ erfüllt

\frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial T^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial z^{2}} = 0 (1)

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - \frac{1} {{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0~~~(1)$ Ich beginne mit Vermutungen

E

$E$ hat die Form

E (T, z) = {\begin{matrix} E_{0} \exp (- ich ω T + ich k z) + R \exp (- ich ω T - ich k z), z < 0 \\ T \exp (- ich ω T + ich k z), z ⩾ 0 \end{matrix}

$E\left( {t,z} \right) = \left\{ \begin{gathered} {E_0}\exp \left( { - i\omega t + ikz} \right) + R\exp \left( { - i\omega t - ikz} \right) , \ z<0\\ T\exp \left( { - i\omega t + ikz} \right), \ z\geqslant0\\ \end{gathered} \right.$ dann bestimmen

R

$R$ Und

T

$T$ mit den Fresnel-Gleichungen.

Ich möchte wissen, wie man Gleichung (1) mit einer Reihe von Randbedingungen löst, ohne die Lösungsform zu "erraten". Was sind die Vollform-Randbedingungen? Oder vielleicht auch Anfangsbedingungen

ProfRob

Ihre allgemeine Lösung ist auch falsch - siehe unten.

Antworten (1)

Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

ProfRob · Answer 1

Dies scheint ein unglaublich schwieriger Weg zu sein, um ein recht einfaches Problem zu lösen.

Wenn Sie das Faradaysche Gesetz in integraler Form verwenden und eine kleine rechteckige Schleife konstruieren, die in die Grenzfläche hinein- und aus ihr herausgeht, ist es leicht zu zeigen, dass die Komponente des E-Felds, die senkrecht zum normalen Oberflächenvektor steht (dh das E- Feld parallel zur Grenzflächenebene) ist unmittelbar auf beiden Seiten der Grenze gleich.

In ähnlicher Weise können Sie die Integralform des Ampereschen Gesetzes verwenden, um zu zeigen, dass das H-Feld parallel zur Grenzflächenebene kontinuierlich ist.

Durch Gleichsetzen des E-Feldes und H-Feldes der (einfallenden plus reflektierten) Welle mit der übertragenen Welle gelangt man zu den Fresnel-Gleichungen.

Ich glaube nicht, dass es angesichts des von Ihnen gestellten Problems eine Möglichkeit gibt, Gleichung (1) direkt zu lösen, um eine exakte Lösung zu erhalten. Zum Beispiel jede lineare Kombination von Funktionen der Form $f(\omega t \pm kz)$ ist eine Lösung der Wellengleichung.

Ich glaube auch nicht, dass deine Wellengleichung stimmt. Sie ist maßlich falsch und sollte sich in Abhängigkeit von der relativen Permittivität ändern $\epsilon_r$ . Für nichtmagnetische, nichtleitende Medien ( $\mu_r=1$ , $\sigma=0$ ) sollte es nicht sein

\frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial T^{2}} - \frac{C^{2}}{ϵ_{R}} \frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial z^{2}} = 0 ?

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - \frac{c^2} {{{\epsilon_r}}}\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0\ ?$

Oder wenn Sie lieber gehen möchten $c$ als Darstellung der Lichtgeschwindigkeit im Medium

\frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial T^{2}} - C (z)^{2} \frac{\partial^{2} E (T, z)}{\partial z^{2}} = 0 ?

$\frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {t^2}}} - c(z)^2 \frac{{{\partial ^2}E\left( {t,z} \right)}} {{\partial {z^2}}} = 0\ ?$

Ein weiteres Problem ist, dass Ihre allgemeine Lösung falsch ist . Es erweist sich zwar als richtig anzunehmen, dass die Frequenz auf beiden Seiten der Grenzfläche gleich ist, aber es ist nicht richtig anzunehmen, dass dies der Fall ist $k$ ist auf jeder Seite gleich.

Danke @Rob. Du hast Recht. Gleichung (1) ist maßlich falsch. Es sollte c^2 sein, nicht 1/c^2. Ich ziehe es vor, c als Lichtgeschwindigkeit in Medien zu verwenden, nicht als Konstante. Ich denke, die relative Permittivität kann hier weggelassen werden. Und Gleichung (1) hat eine allgemeine Lösung f, können wir sie nicht anhand der Grenzbedingung bestimmen? Ich möchte es "mathematisch" verstehen.
@harbinn Aber es ist keine Konstante; wenn du es so belässt $c$ , wie können Sie Änderungen über die Schnittstelle nachverfolgen? Die Randbedingungen sagen Ihnen nur, dass die parallelen Komponenten von E- und H-Feldern stetig sind. Jede Form von $f$ ist erlaubt.

Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

harbinn

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harbinn

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