Maxwellsche Gleichungen - unterbestimmt - Eindeutigkeit

Question

Maxwellsche Gleichungen - unterbestimmt - Eindeutigkeit

Physik
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
Freiheitsgrade
Differentialgleichung
Klassische Elektrodynamik

Ameet Sharma

Die Maxwell-Gleichungen können als zwei dynamische Gleichungen (die beiden Lockengleichungen) und zwei Beschränkungsgleichungen (die beiden Divergenzgleichungen) angesehen werden.

Wir haben also 6 Unbekannte ( $E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$ ).

Die beiden dynamischen Gleichungen ergeben 6 Differentialgleichungen.

Wir haben also 6 Unbekannte, 6 Differentialgleichungen, aber nur 2 Nebenbedingungsgleichungen.

Das lässt also 4 Freiheitsgrade.

Wie erhalten wir eine eindeutige Lösung mit 4 Freiheitsgraden?

Knzhou

Du nicht. Strom und Ladungsdichte zu einem Zeitpunkt t geben die Felder nicht an. Wenn zum Beispiel keine Ladungen in der Nähe sind, können Sie immer noch Strahlung haben.

QMechaniker

Die Frage, ob die Maxwell-Gleichungen über- oder unterbestimmt sind, wurde in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert.

Robin Ekmann

Aus der Hamiltonschen Sichtweise ist nur das Amperesche Gesetz dynamisch und die anderen drei sind Beschränkungen.

Emilio Pisanty

Wie stellen Sie sich vor, dass die Nebenbedingungsgleichungen als Anfangsbedingungen funktionieren? Die Anfangsbedingungen sind bekanntlich die Anfangsbedingungen.

Ameet Sharma

Die Maxwell-Gleichungen müssen die Divergenzbeziehungen nicht für alle Zeiten angeben. Es genügt, sie bei anzugeben

t = 0

$t=0$ . Dann stellen die Curl-Gleichungen sicher, dass sie für alle erfüllt sind

t > 0

$t>0$ . In diesem Sinne meine ich, dass die Nebenbedingungsgleichungen Anfangsbedingungen sind. Valters Beitrag macht dies klarer.

Emilio Pisanty

Das stimmt, aber das macht die Nebenbedingungsgleichungen nicht zu Anfangsbedingungen, wie in Ihrem Beitrag angegeben. (Valters Antwort macht deutlich, dass Sie bestimmte Anfangsbedingungen benötigen. Wie Sie es aus mathematischen oder physikalischen Erwägungen erwarten würden.) Bitte bearbeiten Sie Ihren Beitrag, um dies widerzuspiegeln.

Antworten (3)

Maxwellsche Gleichungen - unterbestimmt - Eindeutigkeit

Du nicht. Strom und Ladungsdichte zu einem Zeitpunkt t geben die Felder nicht an. Wenn zum Beispiel keine Ladungen in der Nähe sind, können Sie immer noch Strahlung haben.
Die Frage, ob die Maxwell-Gleichungen über- oder unterbestimmt sind, wurde in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert.
Aus der Hamiltonschen Sichtweise ist nur das Amperesche Gesetz dynamisch und die anderen drei sind Beschränkungen.
Wie stellen Sie sich vor, dass die Nebenbedingungsgleichungen als Anfangsbedingungen funktionieren? Die Anfangsbedingungen sind bekanntlich die Anfangsbedingungen.
Die Maxwell-Gleichungen müssen die Divergenzbeziehungen nicht für alle Zeiten angeben. Es genügt, sie bei anzugeben $t=0$ . Dann stellen die Curl-Gleichungen sicher, dass sie für alle erfüllt sind $t>0$ . In diesem Sinne meine ich, dass die Nebenbedingungsgleichungen Anfangsbedingungen sind. Valters Beitrag macht dies klarer.
Das stimmt, aber das macht die Nebenbedingungsgleichungen nicht zu Anfangsbedingungen, wie in Ihrem Beitrag angegeben. (Valters Antwort macht deutlich, dass Sie bestimmte Anfangsbedingungen benötigen. Wie Sie es aus mathematischen oder physikalischen Erwägungen erwarten würden.) Bitte bearbeiten Sie Ihren Beitrag, um dies widerzuspiegeln.

Valter Moretti · Answer 1

Maxwell-Gleichungen lesen

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot \vec{E} = ρ \end{matrix}

$\nabla\cdot \vec E=\rho\tag1$

\begin{matrix} (2) & \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial T} \end{matrix}

$\nabla\times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\tag2$

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{matrix}

$\nabla\cdot\vec B=0\tag3$

\begin{matrix} (4) & \nabla \times \vec{B} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial T} \end{matrix}

$\nabla\times\vec B=\vec j+\frac{\partial\vec E}{\partial t}\tag4$ Der Einfachheit halber nehme ich an

\vec{j} = 0

$\vec{j}=0$ . Die Gleichungen (2) und (4) bilden ein lineares System erster Ordnung

\begin{matrix} (5) & D_{X} X (T, X) = \partial_{T} X (T, X) \end{matrix}

$D_x {\bf X}(t,x) = \partial_t {\bf X}(t,x)\tag 5$ Wo

X = (\vec{E}, \vec{B})^{T}

${\bf X} = (\vec{E}, \vec{B})^t$ ist ein Vektor in

R^{6}

$\mathbb R^6$ .

D_{x}

$D_x$ ist ein Differentialoperator erster Ordnung, der nur auf die räumliche Variable wirkt

x

$x$ :

D_{X} = (\nabla \times, \nabla \times)^{T} S

$D_x = (\nabla \times, \nabla\times)^t S$ Und

S

$S$ ist die Matrix

6 \times 6

$6\times 6$ zerlegt in 4 Blöcke aus

3 \times 3

$3\times 3$ Matrizen:

I

$I$ Und

- I

$-I$ auf der Antidiagonale und

0

$0$ ,

0

$0$ auf der Hauptdiagonale.

Sobald Sie die Anfangsbedingungen festgelegt haben $\vec{E}(0,x)$ , $\vec{B}(0,x)$ , das ist ${\bf X}(0,x)$ , gibt es eine eindeutige Lösung von (5). Dies gilt unter geeigneten Regularitätsbedingungen. Das ist

\begin{matrix} (6) & X (T, X) = e^{T D_{X}} X (0, X) \end{matrix}

${\bf X}(t, x) = e^{tD_x}{\bf X}(0,x)\tag 6$ Wir haben festgestellt, dass (2) und (4) für feste Anfangsbedingungen immer eindeutige Lösungen zulassen (der Fall

\vec{j} \neq 0

$\vec{j}\neq 0$ ist eine kleine Komplikation unseres vereinfachten Falls). Was ist mit (1) und (3)? Es ist bekannt, dass (2) und (4) zusammen mit dem Ladungserhaltungsgesetz Anlass geben

\partial_{T} (\nabla \cdot \vec{E} - ρ) = 0

$\partial_t(\nabla\cdot \vec E-\rho)=0$ Und

\partial_{T} (\nabla \cdot \vec{B}) = 0

$\partial_t(\nabla\cdot\vec B)=0$ wo die Felder

\vec{E}

$\vec{E}$ Und

\vec{B}

$\vec{B}$ Löse (2) und (4). Wenn also die Anfangsbedingungen für (2) und (4) (1) und (3) erfüllen (und wir die Anfangsbedingungen mit dieser Funktion frei festlegen können), gelten diese Einschränkungen für alle Zeiten.

NACHTRAG . Falls $\vec{j}$ vorhanden ist, ist die allgemeine Lösung von (2) und (4) die Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung (5), addiert zu einer bestimmten Lösung von (2)-(4). In der Praxis

X (T, X) = e^{T D_{X}} Y (X) + e^{T D_{X}} \int_{0}^{T} e^{- τ D_{X}} J (τ, X) D τ

${\bf X}(t,x) = e^{tD_x} {\bf Y}(x) + e^{tD_x} \int_0^{t} e^{-\tau D_x} {\bf J}(\tau,x) d\tau$ mit

J = (\vec{j} (t, x), \vec{0})^{t}

${\bf J}= (\vec{j}(t,x),\vec{0})^t$ . Es ist klar, dass

Y (x) = X (0, x)

${\bf Y}(x)= {\bf X}(0,x)$ nochmal.

UKH · Answer 2

Die Maxwell-Gleichungen sind die Grundlagen des EM-Phänomens. Welche Felder Sie auch immer auswählen, sie sollten diese 4 Grundgleichungen nicht verletzen. Angenommen, wir haben ein Problem, um die elektrischen und magnetischen Felder einer EM-Welle oder einer Ladung oder was auch immer zu finden. Wie Sie sagten, haben wir jetzt ein Vier-Komponenten-Problem. Aber der Freiheitsgrad ist nicht 4, da jede Komponente von E mit jeder Komponente von B in Beziehung steht (nehmen Sie zum Beispiel das Faradaysche Gesetz).
Ihre Frage hat einen Sinn. Die Eindeutigkeit der Lösung entspricht dem Auffinden der Feldwerte der Welle. Beachten Sie, dass die E- und B-Felder nicht unabhängig voneinander sind. Sie sind voneinander abhängig. Sobald Sie E (die elektrischen Feldkomponenten) haben, können Sie den Wert von B vorhersagen, da beide durch die Geschwindigkeit der Welle durch das betreffende Medium in Beziehung stehen. Es ist also nicht möglich, E und B aus unterschiedlichen Perspektiven zu behandeln. Das ist gegen die Maxwell-Gleichungen.
Sie müssen also nur entweder B oder E kennen. Dann gibt es nur einen Freiheitsgrad, obwohl das Problem immer noch ein 4-Komponenten-Problem ist.

sbp · Answer 3

Schauen wir uns die 4 Gleichungen in ED an,

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot \vec{E} = ρ \end{matrix}

$\nabla\cdot \vec E=\rho\tag1$

\begin{matrix} (2) & \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial T} \end{matrix}

$\nabla\times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\tag2$

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{matrix}

$\nabla\cdot\vec B=0\tag3$

\begin{matrix} (4) & \nabla \times \vec{B} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial T} \end{matrix}

$\nabla\times\vec B=\vec j+\frac{\partial\vec E}{\partial t}\tag4$ was natürlich kompakter geschrieben werden kann,

\begin{matrix} (5) & \partial_{μ} F^{μ v} = J^{v} \end{matrix}

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu \tag5$

Der $(2)$ und das $(3)$ Gleichung ist eigentlich meine Einschränkungsgleichungen. Es gibt 4 Einschränkungen - $(2)$ ist also eine Vektorgleichung $3$ Einschränkungen plus die $1$ aus der Skalargleichung $(2)$ . Also haben wir $2$ Freiheitsgrade von der $6$ anfänglich.

\begin{matrix} (6) & (3) ⟹ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \end{matrix}

$(3)\implies \vec B = \nabla\times\vec A\tag6$

\begin{matrix} (7) & (2) ⟹ \vec{E} = - \nabla ϕ - \frac{\partial \vec{A}}{\partial T} \end{matrix}

$(2)\implies \vec E=-\nabla \phi - \frac{\partial\vec A}{\partial t} \tag7$

Beachten Sie, dass ich eine Eichtransformation so durchführen kann, dass

\begin{matrix} (8) & \vec{A} \to \vec{A} + \nabla F (\vec{X}, T) \end{matrix}

$\vec A\rightarrow \vec A + \nabla f(\vec x,t)\tag8$

\begin{matrix} (9) & ϕ \to ϕ - \frac{\partial F (\vec{X}, T)}{\partial T} \end{matrix}

$\phi \rightarrow \phi-\frac{\partial f(\vec x,t)}{\partial t}\tag9$

und mein $\vec E$ Und $\vec B$ die die wirklich messbaren Größen sind, bleibt unverändert. So, $\vec A$ Und $\phi$ sind nicht $\textbf{unique}$ .

Die Frage war nach der Einzigartigkeit von $E$ Und $B$ , nicht $A$ Und $\phi$ .
Das habe ich bereits erwähnt $E$ Und $B$ bleibt unverändert.
Du nahmst $E$ Und $B$ wie gegeben. Wenn Sie behaupten, dass sie ohne zusätzliche Annahmen eindeutig durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind, dann liegen Sie sicherlich falsch: Versuchen Sie es mit Ersetzen $E$ mit $E+grad(f)$ Und $B$ mit $B+grad(g)$ Wo $f$ Und $g$ sind beliebige harmonische Funktionen.
Ich habe vorgeschlagen, dass sie aus einer anderen Perspektive einzigartig sind: die Eichinvarianz, $A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu\theta(x)$
Ja, mit anderen Worten, Sie haben die Frage nicht beantwortet, die nichts mit Eichinvarianz zu tun hatte.

Maxwellsche Gleichungen - unterbestimmt - Eindeutigkeit

Ameet Sharma

Knzhou

QMechaniker

Robin Ekmann

Emilio Pisanty

Ameet Sharma

Emilio Pisanty

Antworten (3)

Valter Moretti

UKH

sbp

WillO

sbp

WillO

sbp

WillO

Überbestimmt die Maxwell-Gleichungen die elektrischen und magnetischen Felder?

Wie bestimmen die Maxwell-Gleichungen eindeutig EE{\bf E} und BB{\bf B} trotz nein. von Gleichungen über Nr. von Unbekannten?

Wie leitet man die Maxwell-Gleichungen aus der elektromagnetischen Lagrange-Funktion ab?

Warum brauchen Hochspannungsleitungsarbeiter einen Faraday-Käfiganzug?

Wie ist es möglich, dass die induzierte EMK im Faradayschen Induktionsgesetz negative Werte annimmt?

Vollständigkeit der Maxwell-Gleichungen

Integrationskonstanten in Maxwell-Gleichungen (Mehrdeutigkeit?)

Kann eine Ladung, die sich auf einer offenen Bahn bewegt, als Strom gelten?

Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

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