Vollständigkeit der Maxwell-Gleichungen

Betrachten wir die Maxwell-Gleichungen in der Form:
∇ ⋅ E → = ρ ϵ 0
∇ ⋅ B → = 0
∇ × E → = − ∂ B → ∂ T
∇ × B → = μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ T
Dies sind 1+1+3+3=8 Skalargleichungen. Diese beziehen sich jedoch auf die Vektoren E → , B → A N D J → die haben 3 ⋅ 3=9 Skalarkomponenten. Nach dem, was ich gelesen habe, wird diese Anomalie durch die Einführung sogenannter konstitutiver Beziehungen behoben, die in diesem Fall beispielsweise das Ohmsche Gesetz sein können J → = σ E → , wodurch sich die 9 erforderlichen Gleichungen ergeben. Dies würde jedoch bedeuten, dass das Ohmsche Gesetz unabhängig von den Maxwell-Gleichungen ist. Ich habe gelesen, dass Maxwells Gleichungen das elektromagnetische Feld eindeutig bestimmen, sollte das Ohmsche Gesetz dann nicht irgendwo in Maxwells Gleichungen enthalten sein? Ich war der Meinung, dass man aus den Maxwellschen Gleichungen im Prinzip einen Beziehungsausdruck ableiten könnte J → A N D E → und der Einfachheit halber könnten wir dann nur den Term erster Ordnung wählen und so das lineare Ohmsche Gesetz erhalten. Dies scheint hier aber nicht der Fall zu sein. So sind Gesetze wie das Ohmsche Gesetz nicht in den Maxwellschen Gleichungen enthalten, und somit bestimmen diese Gleichungen nicht eindeutig E → A N D B → ? (Da natürlich ρ Und J → ).

Wenn Sie die Strömungen (J) nicht kennen, können Sie die Felder nicht kennen. Es überrascht nicht, dass die Gleichungen unterbestimmt sind, wenn man J als Unbekannt betrachtet.
Wenn Sie darüber sprechen wollen, wie sich Ladungen als Reaktion auf ein EM-Feld bewegen, brauchen Sie ein Gesetz, um Felder, die auf Ladungen wirken, mit den Geschwindigkeiten dieser Ladungen in Beziehung zu setzen. Dies wird durch die Lorentz-Kraft und das zweite Newtonsche Gesetz (oder die Schrödinger-Gleichung in QM) bereitgestellt. Das Newtonsche Gesetz (bzw. die Schrödinger-Gleichung) ist offensichtlich unabhängig von den Maxwellschen Gleichungen und ein notwendiger Bestandteil, um aus Grundprinzipien so etwas wie das Ohmsche Gesetz abzuleiten (ganz zu schweigen von einigen statistischen Argumenten).

Antworten (2)

Was Sie als Maxwell-Gleichungen geschrieben haben, gilt für kostenlose Gebühren ρ , freie Strömungen J = ρ v , im Vakuum und in diesen gibt es kein Ohmsches Gesetz.

Wenn Sie anstelle von freien Ladungen / Strömen im Vakuum makroskopisches Schüttgut, Flüssigkeit, Gas usw. haben, beschreibt Ihre Version der Maxwell-Gleichungen diese nicht. Stattdessen gehen wir davon aus, dass wir einige Kenntnisse darüber haben, wie die makroskopischen Ströme/Ladungen mit dem Makroskopischen interagieren E Und B Felder, die makroskopische Mittelwerte der mikroskopischen Felder sind. Es stellt sich heraus, dass Sie dann vier (4) und nicht zwei makroskopische Felder benötigen, die herkömmlicherweise als bezeichnet werden E , D Und B , H und die Beziehungen werden entweder aus der mikroskopischen Physik (Quanten- und statistische Mechanik + Thermodynamik) abgeleitet oder direkt gemessen. Eine solche makroskopische Beziehung ist die des Ohmschen Gesetzes, aber es gibt andere, die das makroskopische Verhalten von Dielektrika beschreiben D = D ( E ) oder magnetische Materie B = B ( H ) , usw.

Wenn ich deine Aussage richtig verstehe, J → ist eine bekannte Größe und so haben Sie nur 6 skalare Größen, um die man sich Sorgen machen muss - nicht 9 .

Das alles wird etwas komplizierter durch die Tatsache, dass die Gleichungen nicht nur enthalten B → Und E → , sie enthalten auch ihre Zeitableitungen - ∂ E → ∂ T Und ∂ B → ∂ T - und ein paar räumliche Ableitungen in der Locke und Divergenz. Tatsächlich gibt es also mehr als nur die 6 skalare Größen impliziert durch E → Und B → - Dies ist ein Problem, das Differentialgleichungen betrifft, nicht einfach lineare Algebra.

Ein nützlicher Weg, um darüber nachzudenken, was hier vor sich geht, ist, dass wir 6 Differentialgleichungen (in den beiden Vektorgleichungen, die die Locke beinhalten) und 2 Zwangsgleichungen (in den beiden Divergenzgleichungen) haben. Wir wollen dann die eindeutig bestimmen 6 skalare Größen in E → Und B → .

Betrachten wir die Differentialgleichungen, die wir haben 6 Gleichungen für 6 Unbekannte, was kein Problem ist. Bleibt dann nur noch die Frage: Haben wir bei geeigneten Randbedingungen genügend Informationen, um sie eindeutig zu bestimmen E → Und B → als Funktion von Raum und Zeit.

Ich werde nicht vorgeben zu wissen, wie ich das beweisen kann, aber hier gibt es eine gute Antwort, die es erklärt.

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