Sind die integralen Formen der Maxwell-Gleichungen aufgrund von Verzögerungen nur begrenzt anwendbar?

Es ist leicht zu zeigen, dass die Differential- und Integralformen der Maxwell-Gleichungen äquivalent sind, indem man die Sätze von Gauß und Stokes verwendet.

Richtig, sie sind äquivalent (angenommen, kein GR und kein QM) in dem Sinne, dass, wenn die integralen Versionen für jede Oberfläche / Schleife gelten, die differentiellen Versionen für jeden Punkt gelten, und wenn die differentiellen Versionen für jeden Punkt gelten, dann die integralen Versionen halten für jede Oberfläche/Schleife. (Dies setzt auch voraus, dass Sie die Integralversionen in vollständiger und korrekter Form mit dem Fluss der Zeitpartialtöne der Felder und / oder mit stationären Schleifen schreiben.)

Angenommen, in einem Draht fließt ein zeitlich veränderlicher Strom$I(t)$und ich möchte die Felder weit weg vom Draht finden.

Das Amperesche Gesetz ist richtig, aber es ist auch nicht hilfreich. Wenn Sie die Auflage kennen$\vec B$, können Sie damit den Gesamtstrom (Ladung und Verschiebung) ermitteln. Wenn Sie den Gesamtstrom (Ladung und Verschiebung) kennen, können Sie die Zirkulation von ermitteln$\vec B$. Aber lösen für$\vec B$selbst ist schwer, es sei denn, Sie haben Symmetrie.

Was ist mit der Anwendung des Ampereschen Gesetzes in integraler Form? Was ist die Grenze seiner Gültigkeit?

Es ist völlig gültig, aber es könnte nicht hilfreich sein. Wenn du schreibst:

Wann$I(t)$ändert sich dann$\vec B$Feld in der Nähe schnell ändert, und wenn es eine Änderung gibt$\vec B$Feld gibt es ein zirkulierendes elektrisches Feld, so dass sich der Bereich ändert$\vec B$Feld dehnt sich aus, ebenso der Bereich neu zirkulierender elektrischer Felder. Beide erweitern sich zusammen. Schließlich die expandierende Sphäre des Wandels$\vec B$Feld und sich ändernde zirkulierende elektrische Felder beginnen schließlich (zusammen) die Ampersche Schleife zu erreichen, und erst dann beginnt die Zirkulation$\vec B$auf der weit entfernten Amperian-Schleife umsteigen. Wenn es nur eine Änderung gäbe$I(t)$, dann dehnt sich die sich ausdehnende Hülle aus wechselnden elektrischen Feldern weiter aus, und Sie bleiben beim neuen Wert des Zirkulierens hängen$\vec B$Feld, basierend auf dem Strom, der sich vor einiger Zeit geändert hat.

Also zum Auflösen$\vec B$, du brauchst beides$I$und$\partial \vec E /\partial t$und letzteres benötigen Sie für den gesamten leeren Raum auf einer Oberfläche durch die Amperian Loop. Die Maxwell-Gleichungen haben keine begrenzte Gültigkeit und müssen nicht modifiziert werden. Sie sind nur nicht immer so nützlich, wie Sie es sich wünschen.

Ich sehe nicht wirklich, was das Problem ist. Wenn$B$an der Grenze Null ist, zeigt Ihre Gleichung$0= \mu_0 I(t) + \mu_0 \iint \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}(r,t)}{\partial t} \cdot d\vec{A}$, Also

Warum erwarten Sie, dass diese Gleichung nicht erfüllt ist? Zur Menge kann ich nur sehr wenig sagen$\frac{\partial \vec{E}(r,t)}{\partial t}$

Die differentiellen Versionen der Maxwell-Gleichungen implizieren die integralen Versionen, und die integralen Versionen implizieren die differentiellen Versionen, sodass Sie die eine nicht brechen können, ohne die andere zu brechen.

Nicht alle Systeme von PDEs sind lokale Wellengleichungen, daher bedeutet die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen in Form von PDEs (lokalen Gesetzen) formuliert werden können, nicht, dass die Effekte lokal sind. Umgekehrt bedeutet die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen als Integrale ("globale" Gesetze) formuliert werden können, nicht, dass die Auswirkungen global sind.

Ich gehe davon aus, dass wir jede Raumkrümmung (kein GR) und alle Quanteneffekte (kein QM) vernachlässigen.

Die Differential- und Integralformen sind völlig gleichwertig, aber die Integralformen sind physikalisch nicht so intuitiv, wie Sie es sich in Fällen erhoffen könnten, die nicht statisch oder quasistatisch sind.

Der andere Faktor ist, dass ihr Nutzen fraglich sein könnte. Beispielsweise könnten Sie in einer hochsymmetrischen Situation in der Statik Gauss oder Ampere verwenden, um ein elektrisches oder magnetisches Feld zu finden. Die gleichen Gesetze gelten außerhalb der Statik, aber sie sind möglicherweise nicht so nützlich.

Auch einige Beziehungen zwischen Begriffen und praktischeren Angelegenheiten, die nur in der Statik gelten, gelten möglicherweise nicht mehr.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Sie haben einen sehr großen leitenden Draht und ein Magnetfeld, das sich auf Zeitskalen schneller ändert als der Radius des Stromkreises dividiert durch$c$. Da wir uns außerhalb der Statik oder Quasistatik befinden, gibt es keine Gleichheit mehr zwischen der elektrischen Potentialdifferenz an einem Batterieanschluss und der gesamten EMK durch den Stromkreis zu einem festen Zeitpunkt. Es besteht jedoch immer noch eine Gleichheit zwischen dem Fluss durch den Stromkreis der zeitlichen Änderungsrate des Magnetfelds und dem Teil der EMK durch den Stromkreis aufgrund der elektrischen Kraft, da dieses Ergebnis nicht von einem statischen oder quasistatischen Ergebnis abhängt. Aber es muss vorsichtiger interpretiert werden.

Die Integralgleichungen gelten für eine Zeitscheibe in einem festen Rahmen, also fixiere einen Rahmen. Das$\vec{B}$Der Fluss durch die Schaltung ist eine skalare Größe, die zu jeder Zeit einen Wert hat und sich aus zwei Gründen ändert: von der momentanen Änderungsrate der$\vec{B}$Feld, das entlang einer festen Oberfläche durch die augenblicklichen Orte des Stromkreises angeordnet ist, und die augenblickliche Bewegung der Ladungen im Stromkreis durch Reaktion auf das Augenblickliche$\vec{B}$Feld an den Momentanstellen der Schaltung.

Die zeitliche Änderungsrate von$\vec{B}$, kann durch die momentanen Positionen der Schaltung über eine feste Oberfläche integriert werden, und das ergibt (nach dem Faradayschen Gesetz) das Integral$-\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}$entlang der momentanen Positionen der Schaltung. Es ist nicht so, dass die$\vec{B}$Feld da draußen bewirkte, dass das elektrische Feld diese Zirkulation hatte, tatsächlich bewirkt die Zirkulation des elektrischen Felds, dass sich das Magnetfeld ändert, also ist die Kausalität genau umgekehrt. Es ist am besten zu glauben, dass elektrische und magnetische Felder keine unabhängig spezifizierbaren zeitlichen Änderungsraten haben. Partikel können eine Geschwindigkeit haben, und dann bestimmen Kräfte die Partikelbeschleunigung, aber die Kräuselung der$\vec{E}$und$\vec{B}$(und die Quellen) zwingen die Felder dazu, die zeitliche Änderungsrate zu haben, die sie haben. Somit hat jedes Feld den Wert, den es aufgrund des vorherigen Werts und der Feldzeitableitung hat, und die Feldzeitableitung wird bestimmt. Es ist fast ein System erster Ordnung (außer dass der Strom von der Quelle abhängt, sodass das elektrische Feld einige Eigenschaften zweiter Ordnung hat, da seine Zeitänderung von Teilchengeschwindigkeiten abhängt). Aber das Magnetfeld direkt nach oben muss sich gemäß dem entwickeln, was die Zirkulation des elektrischen Feldes vorschreibt (da es keine magnetischen Monopolströme gibt). Die elektrische Kraft pro Einheitsladung, integriert entlang der momentanen Schaltungsorte, ist also (wie immer) numerisch gleich dem momentanen Fluss von$-\partial \vec{B}/\partial t$durch die Schleife. Die Kausalität ist jedoch, dass die Zirkulation der$\vec{E}$Feld verursacht den Fluss von$-\partial \vec{B}/\partial t$zu sein, was es ist. Insbesondere ist es das Momentan$\vec{E}$überall entlang dieser augenblicklichen Oberfläche, die das macht$-\partial \vec{B}/\partial t$Fluss sein, was er entlang dieser momentanen Oberfläche ist.

Wenn Sie nun stattdessen die Änderungsrate des momentanen Gesamtmagnetflusses betrachten, erhalten Sie diesen Beitrag plus eine weitere Änderung des sich bewegenden Drahtes. In der Quasistatik erhalten Sie, dass der andere Beitrag der Magnetkraft pro Einheitsladung entspricht, die entlang der momentanen Position des Drahtes integriert ist. Und Sie haben es aus dem Nicht-Monopol-Gesetz. In der Statik ergibt sich also insgesamt das Integral der Lorentzkraft pro Ladungseinheit$-d\Phi/dt$. Das Nicht-Monopol-Gesetz gilt immer noch, aber Sie verstehen es nicht$-d\Phi/dt$resultieren, weil die Geschwindigkeit der Ladungen nicht mehr gleich der Geschwindigkeit des Schaltungsstücks plus einer Geschwindigkeit parallel zum Schaltungsstück ist.

Und selbst wenn Sie die gesamte EMK hätten, ist sie nicht mehr gleich der Potentialdifferenz über dem Teil des Stromkreises mit einer Batterie.

Es gilt jedoch jede Integralform der Gleichungen. Ich habe das Faradaysche Gesetz beschrieben, den Teil, der noch gilt (den momentanen Fluss von$-\partial \vec{B}/\partial t$gleich dem Linienintegral von$E$um die Schleife herum).

Das No-Monopol-Gesetz gilt immer noch, aber es bringt Ihnen nicht die Ergebnisse wie früher (z. B. über magnetische EMK), aber es gibt Ihnen immer noch ein Vektorpotential. Es gibt Ihnen immer noch, dass Feldlinien, die in eine Region eintreten, die Region verlassen.

Das Gaußsche Gesetz gilt immer noch, so dass für jedes momentane Volumen der momentane Fluss durch die Oberfläche proportional zu der momentanen Ladung im Inneren ist. Und es gibt Ihnen immer noch, dass Feldlinien bei elektrischen Ladungen beginnen und aufhören.

Die Kontinuitätsgleichung gilt immer noch in integraler Form. Die Ladung ist die momentane Ladung im Inneren, der Strom ist der momentane Ladungsfluss durch die momentane Oberfläche.

Das Amperesche Gesetz besagt, dass Sie eine Schleife auswählen können, die in einem Rahmen augenblicklich ist, und den Stromfluss durch sie (der augenblickliche$I$) plus der Fluss des momentanen Verschiebungsstroms durch die momentane Oberfläche ist numerisch gleich der Zirkulation der$\vec{B}$Feld durch die Momentanschleife. Aber auch hier ist die Kausalität die sofortige Zirkulation von$\vec{B}$in einem Bereich abzüglich des momentanen Stromflusses$I$durch die Region ist proportional zur Änderungsrate der orthogonalen Komponente der$\vec{E}$Feld und eigentlich macht das$\vec{E}$auf diese Weise ändern. Die Strömung in dieser Richtung und die Zirkulation um diese Richtung sagen Ihnen also, wie diese Komponente der$\vec{E}$Feldänderungen, und es ist die Zirkulation und die Strömung genau dort (und genau dann), die dies bestimmen (auch in der Nachbarschaft). Und wieder die$\vec{E}$entwickelt sich basierend auf dem, was die$\vec{E}$war vorher plus die Zeitumstellung basierend auf der$\vec{B}$in der Nähe und die$\vec{J}$in der Nähe. Ampere gilt also genauso gut in integraler Form.

Alle Maxwell-Gleichungen gelten genauso gut in integraler Form. Sie können sogar die Version mit der Gesamtzeitableitung der Flussversionen der Gesetze erhalten, wenn die betreffende Schleife eine feste Schleife im Raum ist. Und wir können die Kausalität immer noch klar erkennen, sodass bekannt ist, was jedes Feld zu dem macht, was es ist.

Die Antwort hängt davon ab, ob Sie mit „Anwendbarkeit“ „Gültigkeit“ oder „Nützlichkeit“ meinen. Die Integral- und Differentialformen der Maxwell-Gleichungen sind vollständig äquivalent, sodass die Integralformen auch in einem stark relativistischen Kontext vollständig gültig bleiben. Sie sind in diesem Zusammenhang jedoch selten so nützlich wie die Differentialformen, da sie nicht lokal sind, sodass die relevanten Integrale nicht nur mit lokal zugänglichen Daten durchgeführt werden können. Außerdem haben relativistische Probleme selten Symmetrien, die verwendet werden können, um sie so weit zu vereinfachen, dass die Integralformen nützlich sind.

Ich konnte kein Bild in die Kommentare einfügen und bin zu faul, ohne mein Tablet zu zeichnen.

Ich denke, das Problem oder zumindest ein Teil davon besteht darin, dass das Magnetfeld eine Diskontinuität im Raum aufweist, sodass seine Kräuselung an diesen Punkten nicht gut definiert ist und infolgedessen niemand das Oberflächenintegral der Kräuselung in ein Linienintegral über den Umfang ändern kann dieser Oberfläche.

Wenn Sie einen Kreis mit Radius 10c, c Lichtgeschwindigkeit betrachten, dann ist das Magnetfeld zum Zeitpunkt t = 1s und Entfernung 10c Null, weil es keine Zeit hatte, dorthin zu gelangen. Das Linienintegral ist also Null. Das Äquivalent des Linienintegrals ist jedoch das Oberflächenintegral, das nicht Null ist. In diesem Fall denke ich, dass es an der Ausbreitungsgrenze des Magnetfelds eine Diskontinuität gibt, davor ist es nicht Null, aber danach ist es Null, da sich nichts schneller als Licht fortbewegen kann. Daher können Sie das Stokes-Theorem nicht verwenden, um das Linienintegral aus dem Oberflächenintegral zu erhalten. Daher gilt das Linienintegral für r/t<=c.