Maxwell-Gleichungen ergeben kein eindeutiges elektrisches Feld?

Das Problem ist, dass Sie die Locke falsch berechnet haben; Sie haben eine Deltafunktion verpasst, die sich aus der Diskontinuität ergibt. Wir können schreiben$E_z$als

und das verwenden$\Theta'(x) = \delta(x)$, das verstehen wir

also beim geben$\nabla \cdot \mathbf{E}$Und$\nabla \times \mathbf{E}$musst du angeben$C$: Es ist keine freie Konstante.

Dies lässt sich an einem viel einfacheren Beispiel verdeutlichen. Angenommen, Sie fordern$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$,$\nabla \times \mathbf{E} = 0$Und$\mathbf{E} \to 0$bei unendlich. Wenn Sie dann die Delta-Funktion vergessen, löst jedes Feld, das in einem begrenzten Bereich des Raums konstant und anderswo null ist, diese Gleichungen.

Die Moral ist, dass Sie entweder die Felder differenzierbar sein müssen (oder vielleicht$C^1$), was Ihr Beispiel nicht ist, oder Sie müssen Distributionen wie ich verwenden.

In Bezug auf Ihren letzten Punkt: Es gibt keinen Grund, warum ein bestimmtes Magnetfeld ein einzigartiges elektrisches Feld erzeugen sollte, weil es bekannt ist$\mathbf{B}$bestimmt$\nabla \times \mathbf{E}$Und$\partial \mathbf{E} / \partial t$aber nicht$\nabla \cdot \mathbf{E}$oder die Randbedingungen. Sie könnten ein beliebiges statisches Feld ohne Curl hinzufügen und trotzdem eine gültige Lösung erhalten.

Mal sehen, welche Arten von Quellen diese Felder erzeugen könnten. Ich habe diesen Teil umgeschrieben, weil es irgendwie ein Durcheinander war.

Beobachten Sie das erst seit$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$, es fallen keine Gebühren an. Wir hätten Gebühren verpassen können$r=0$Weil$\mathbf{E}$ist dort nicht definiert, aber die Integration entlang einer zylindrischen Gaußschen Oberfläche zeigt, dass es auch dort keine Ladungen gibt.

Für später benötigen wir Folgendes:

Unter Verwendung des Faradayschen Gesetzes mit einem Magnetfeld von Null bei$t=0$wir bekommen das

Jetzt können wir die Ströme aus dem Ampère-Gesetz erhalten. Die differentielle Version zeigt keinen Stromleiter an$r=0$Weil$\mathbf{B}$ist undefiniert, also müssen wir dafür die ganzzahlige Version verwenden. Das Gesamtergebnis ist

Es gibt überall Unendlichkeiten, aber wie wir wissen, sind diese kein wirkliches Problem, wenn wir sie als Annäherungen an glatte Felder und Strömungen interpretieren. Wir haben einen Draht bei$r=0$die einen Strom führt, der linear mit geht$t$; das ist absolut vernünftig. Das Verhalten bei$r=R$ist etwas seltsamer. Es gibt eine Deltafunktionsstromschicht und eine Deltafunktionsableitungsstromschicht, die wir als zwei Ströme interpretieren könnten, die sehr nahe beieinander in entgegengesetzte Richtungen gehen, ähnlich einer Dipolschicht in der Elektrostatik.

Schlussfolgerung: Solange verstanden wird, dass unendliche Stromdichten wirklich Annäherungen an sehr dünne Stromschichten sind und dass die Lösungen für ein endliches Zeitintervall gelten (wie sie es immer tun), erscheint diese Lösung physikalisch genug. Zumindest ist es nicht ganz unrealistisch. Sie könnten jedoch Probleme mit all den überlappenden aktuellen Blättern haben, wenn Sie versuchen, es im Labor zu machen.

Zunächst einmal die Tangentialkomponente von${\bf E}$(dh die Komponente parallel zur Schnittstelle) ist immer kontinuierlich über Schnittstellen hinweg , also$E_z$muss stetig sein$r = R$, was behebt$C = 1/R$. Es gibt keine physische Konfiguration von Quellen, die irgendeinen anderen Wert erzeugen könnte$C$.

${\bf E}$nicht zeitabhängig, also${\bf \nabla \times E} = -\partial {\bf B}/ \partial t$gibt

Das Nehmen der Locke gibt das für$r > 0$,

Wir müssen die Achse betrachten$r = 0$getrennt, da dort die Felder auseinander laufen. Bemerken, dass$\oint {\bf B} \cdot d{\bf l} = -2 \pi t$für einen Kreis um die$z$-Achse Innenradius$R$, gibt die integrale Form des Ampereschen Gesetzes an, dass es einen Strom gibt${\bf J} = -t\, \hat{z}$an der Achse.

Die physikalische Interpretation ist, dass dort eine elektrische Stromleitung entlang läuft$z$-Achse und ein zylindrisches Stromblatt mit Radius$R$hochlaufend, beide zeitlich stetig ansteigend, ohne Netzstrom parallel dazu$\hat{z}$. Es ist so etwas wie eine Magnetspule mit quadratischem Querschnitt, die zu einem Donut gewickelt wird, dann das Loch in der Mitte zu einer Linie zusammenschrumpft, dann die beiden flachen Flächen sehr weit wegnimmt - und genau wie eine Magnetspule einen stetig ansteigenden Strom induziert eine stetig zunehmende${\bf B}$Feld, sondern eine Konstante${\bf E}$Feld.

Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur ein eindeutiges elektrisches Feld, das einer Reihe von Randbedingungen und einer Anfangsbedingung für das Feld unterliegt.

Für ein beliebiges elektrisches Feld$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$In einer bestimmten Region des Raums und unter der Annahme, dass das Magnetfeld nicht eingeschränkt ist, gibt es in dieser Region des Raums immer eine Reihe von Ladungen und Strömen (beide möglicherweise zeitabhängig), die dieses bestimmte elektrische Feld erzeugen. Außerdem sind die benötigten Ladungen zwar eindeutig bestimmt, die Ströme jedoch nicht. Hier der Aufbau:

1. Lassen$\rho(\mathbf{r},t) = \epsilon_0 \mathbf{\nabla \cdot E}$. Dies definiert eindeutig die Ladungsdichte, die in dem interessierenden Raumbereich erforderlich ist.
2. Wir wollen nun ein Magnetfeld finden$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)$so dass$\mathbf{\nabla \cdot B} = 0$Und$\partial \mathbf{B} /\partial t = - \mathbf{\nabla \times E}$. Das geht ganz einfach: let $$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = - \int \mathbf{\nabla \times E} \; dt + \mathbf{B}_0(\mathbf{r}),$$ Wo$\mathbf{B}_0(\mathbf{r})$ist irgendeine Funktion von$\mathbf{r}$befriedigend$\mathbf{\nabla \cdot B}_0 = 0$. Die Freiheit im$\mathbf{B}_0(\mathbf{r})$impliziert, dass wir kein Unique haben werden$\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)$; dazu später mehr.
3. Abschließend definieren$\mathbf{J}(\mathbf{r},t)$sein $$\mathbf{J}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{\nabla \times B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$ Durch explizite Konstruktion haben wir$\mathbf{\nabla \cdot J} = - \partial \rho / \partial t$(Nehmen Sie die Divergenz des Ampère-Gesetzes und die zeitliche Ableitung des Gauß-Gesetzes, um dies zu beweisen.) Beliebig$\rho$Und$\mathbf{J}$so konstruiert wird daher das gewünschte elektrische Feld ergeben$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$.

Seit$\mathbf{B}$ist in dieser Konstruktion nicht einzigartig,$\mathbf{J}$wird auch nicht einzigartig sein. Insbesondere,$\mathbf{J}$zerfällt natürlich in ein zeitabhängiges Stück$\mathbf{J}_E$das bestimmt sich durch$\mathbf{E}$und ein statisches Stück$\mathbf{J}_0$das ist unabhängig von$\mathbf{E}$. Kombinieren Sie unsere Definitionen für$\mathbf{B}$Und$\mathbf{J}$oben bekommen wir

Beachten Sie, dass selbst wenn wir räumliche Randbedingungen für auferlegen$\mathbf{B}$, eliminiert dies nicht die Freiheit, die wir haben, etwas hinzuzufügen$\mathbf{J}_0$zu unserer Lösung; Es wird immer noch eine unendliche Anzahl von stationären Stromkonfigurationen geben, die wir zu unserer Lösung hinzufügen können.

Beachten Sie schließlich, dass die so definierten Ladungen, Ströme und Magnetfelder sich möglicherweise nicht besonders gut verhalten, wenn wir eine diskontinuierliche Funktion für haben$\mathbf{E}$, wie in der ursprünglichen Frage gewählt. Sie werden daher nicht physikalisch gut definierten Feldern entsprechen, aber sie können als die Grenze einer Familie realistischerer Konfigurationen angesehen werden, da einige Parameter gegen Null gehen. Zum Beispiel die von Javier gefundene Lösung (die im Grunde die obige Konstruktion verwendet, um find$\mathbf{J}$, mit$\mathbf{B}_0$gleich Null gesetzt) ​​beinhaltet die Grenze von zwei infinitesimal dünnen Stromschichten mit Nullabstand; Wir können dies als eine Grenze von zwei dicken zylindrischen Stromschalen betrachten, die durch einen endlichen Abstand getrennt sind, und dann die Schalendicke und den Abstand gleichzeitig auf Null setzen (während der Strom pro Länge der Schale konstant bleibt).