Ableitung des Ampereschen Gesetzes von Biot-Savart

Question

Ableitung des Ampereschen Gesetzes von Biot-Savart

Physik
Magnetostatik
elektrische Felder
Magnetfelder
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Ma Joad

Unser Ziel ist es abzuleiten $\nabla\times \mathbf B=\mu_0(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$ .

Lassen Sie zunächst $\mathbf A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb R^3}\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$ . Dann

\nabla \times A = B (R) = \int_{R^{3}} \frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |^{3}} \times (R - R^{'}) D v^{'}, \nabla^{2} A (R) = - μ_{0} J .

$\nabla\times \mathbf A=\mathbf B(\mathbf r)= \int_{\mathbb R^3}\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\times (\mathbf r-\mathbf r')dV',\\ \nabla^2 \mathbf A(\mathbf r)=-\mu_0 \mathbf J.$ Unter Verwendung der Identität

\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A

$\nabla\times(\nabla\times \mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot \mathbf A)-\nabla^2 \mathbf A$ ,

\nabla \times B = \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla [\int J (R^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| R - R^{'} |}) D v^{'}] + μ_{0} J (R) .

$\nabla\times \mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla \left[\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV' \right]+\mu_0\mathbf J(\mathbf r).$ Daher müssen wir das beweisen

\nabla [\int J (R^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| R - R^{'} |}) D v^{'}] = 4 π ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial T} .

$\nabla \left[\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV' \right]=4\pi\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.$ Wenn wir lassen

E = - \nabla ϕ

$\mathbf E=-\nabla \phi$ , dann brauchen wir das nur zu beweisen

\int J (R^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| R - R^{'} |}) D v^{'} = - 4 π ϵ_{0} \frac{\partial ϕ}{\partial T} .

$\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV'=-4\pi \epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial t}.$

Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich damit umgehen soll - ich habe es nicht erlebt $\frac{\partial \phi}{\partial t}$ Vor.

Wie kann ich fortfahren?

EDIT: Ich kann vage fühlen, was los ist:

\frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int J (R^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| R - R^{'} |}) D v^{'} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int ρ v \cdot (\frac{R - R^{'}}{| R - R^{'} |^{3}}) D v^{'} = \int F (R^{'}, R) \cdot v (R^{'}) D v^{'},

$\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int \mathbf J(\mathbf r')\cdot \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|}\right)dV'\\ =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \mathbf \rho \mathbf v \cdot \left(\frac{\mathbf{r-r'}}{|\mathbf{r-r'}|^3}\right)dV'\\=\int \mathbf{F(\mathbf r',\mathbf r)\cdot v(\mathbf r')} dV',$ Wo

F (r^{'}, r)

$\mathbf{F}(\mathbf r',\mathbf r)$ ist die elektrische Kraft

r

$r$ übt auf

r^{'}

$r'$ . Das Integral stellt also die Arbeitsrate dar, die an einem anderen Teil des elektrischen Felds geleistet wird

r

$r$ , daher ist es gleich der Abnahmerate des Potentials bei

r

$r$ .

Aber wie kann ich das klarer und formaler machen?

J. Murray

Biot-Savart gilt nur für magnetostatische Bedingungen, nicht wahr? Vielleicht möchten Sie sich stattdessen die Gleichungen von Jefimenko ansehen .

Ma Joad

@J.Murray Aber wie leitet man Jefimenko ab?

J. Murray

Bei jeder Ableitung müssen Sie einen Ausgangspunkt haben. Historisch gesehen verstand Maxwell, dass das Gesetz des magnetostatischen Ampere (

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ ) war unzureichend und fügte einen Korrekturterm hinzu, der seitdem endlos durch Experimente validiert wurde. Fragst du, wie er das gemacht hat?

Ma Joad

@J.Murray Ja, genau. Ich versuche nur, den Begriff zu verstehen

\partial E / \partial t

$\partial E/\partial t$ .

Puk

Vielleicht möchten Sie sich diesen Wikipedia-Artikel ansehen, um ein Beispiel dafür zu erhalten, warum das Ampere-Gesetz ohne den Verschiebungsstrombegriff nicht funktioniert.

Thomas Fritsch

Sie können die Maxwell-Gleichung nicht mit ableiten

ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

$\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$ Term aus dem Biot-Savart-Potential, da das Biot-Savart-Potential eine nur für Ströme gültige Annäherung ist

J

$\mathbf J$ ändert sich langsam mit der Zeit.

Antworten (2)

Ableitung des Ampereschen Gesetzes von Biot-Savart

Biot-Savart gilt nur für magnetostatische Bedingungen, nicht wahr? Vielleicht möchten Sie sich stattdessen die Gleichungen von Jefimenko ansehen .
Bei jeder Ableitung müssen Sie einen Ausgangspunkt haben. Historisch gesehen verstand Maxwell, dass das Gesetz des magnetostatischen Ampere ( $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ ) war unzureichend und fügte einen Korrekturterm hinzu, der seitdem endlos durch Experimente validiert wurde. Fragst du, wie er das gemacht hat?
@J.Murray Ja, genau. Ich versuche nur, den Begriff zu verstehen $\partial E/\partial t$ .
Vielleicht möchten Sie sich diesen Wikipedia-Artikel ansehen, um ein Beispiel dafür zu erhalten, warum das Ampere-Gesetz ohne den Verschiebungsstrombegriff nicht funktioniert.
Sie können die Maxwell-Gleichung nicht mit ableiten $\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$ Term aus dem Biot-Savart-Potential, da das Biot-Savart-Potential eine nur für Ströme gültige Annäherung ist $\mathbf J$ ändert sich langsam mit der Zeit.

J. Murray · Answer 1

Das Biot-Savart-Gesetz besagt, dass unter magnetostatischen Bedingungen ( $\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow 0$ ),

B (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'}) \times (R - R^{'})}{| R - R^{'} |^{3}} D v^{'}

$\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J(\mathbf r') \times (\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} dV'$

Bemerken, dass

\frac{R - R^{'}}{| R - R^{'} |^{3}} = \nabla (\frac{1}{| R - R^{'} |})

$\frac{\mathbf r - \mathbf r'}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3} = \nabla \left(\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right)$ Wo

\nabla

$\nabla$ bezieht sich auf die Differenzierung durch die ungestrichenen Koordinaten, dies kann geschrieben werden

B (R) = \nabla \times \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |} D v^{'}

$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

Nehmen Sie die Locke von diesem und nutzen Sie die Tatsache, dass $\nabla \times (\nabla \times \mathbf F) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf F) - \nabla^2 \mathbf F$ ,

\nabla \times B (R) = \nabla (\int J (R^{'}) \cdot \nabla [\frac{1}{| R - R^{'} |}] D v^{'}) - \nabla^{2} \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |} D v^{'}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla\left(\int J(\mathbf r')\cdot \nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV'\right) - \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

Bemerken, dass

\nabla [\frac{1}{| R - R^{'} |}] = - \nabla^{'} [\frac{1}{| R - R^{'} |}]

$\nabla\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right] = -\nabla'\left[\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]$

wir können den ersten Term partiell integrieren, um zu erhalten

\nabla (\int \nabla^{'} \cdot [\frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |}] D v^{'} - \int \frac{\nabla^{'} \cdot J (R^{'})}{| R - R^{'} |} D v^{'})

$\nabla\left(\int \nabla' \cdot \left[\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\right]dV' - \int\frac{\nabla' \cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'\right)$

Der erste Term ist ein Oberflächenterm und verschwindet, wenn wir das annehmen $\mathbf J(\mathbf r') \rightarrow 0$ als $|\mathbf r'| \rightarrow \infty$ . Der zweite Term verschwindet, weil gemäß der Kontinuitätsgleichung $\nabla\cdot\mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ in der Magnetostatik. Dies lässt uns mit

\nabla \times B (R) = \nabla^{2} \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |} D v^{'}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \nabla^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dV'$

und da

\nabla^{2} \frac{1}{| R - R^{'} |} = 4 π δ^{(3)} (R - R^{'})

$\nabla^2 \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = 4\pi \delta^{(3)}(\mathbf r - \mathbf r')$

wir haben

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ .

Auch hier ist Biot-Savart nur unter magnetostatischen Bedingungen gültig, und daher gilt dies auch für diese Version des Ampere-Gesetzes. Es wäre schön, diese Bedingungen zu lockern und diese Ableitung allgemeiner zu wiederholen, aber wir wissen noch nicht, womit wir Biot-Savart ersetzen sollen.

Sehen wir uns stattdessen an, wie diese Version des Ampere-Gesetzes versagt, wenn wir uns der allgemeinen Elektrodynamik zuwenden. Klar seit $\mathbf J \propto \nabla \times \mathbf B$ , wir haben das $\nabla \cdot \mathbf J = 0$ . Allerdings gilt nach der allgemeinen Kontinuitätsgleichung $\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$ .

Um dies zu beheben, nehmen wir an, dass wir einen neuen Begriff benötigen, also

\nabla \times B = μ_{0} J + G

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \mathbf G$

für irgendein Vektorfeld $\mathbf G$ . Nimmt man die Divergenz beider Seiten, erhält man

0 = - μ_{0} \frac{\partial ρ}{\partial T} + \nabla \cdot G

$0 = - \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf G$

⟹ \nabla \cdot G = μ_{0} \frac{\partial ρ}{\partial T}

$\implies \nabla \cdot \mathbf G = \mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t}$

Aus dem Gauß'schen Gesetz für elektrische Felder wissen wir das $\rho = \epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf E$ , und so

\nabla \cdot G = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} \nabla \cdot E = \nabla \cdot (ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E)

$\nabla \cdot \mathbf G = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \mathbf E = \nabla \cdot \left(\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E\right)$

und so können wir das einfach postulieren

G = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E

$\mathbf G = \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

So

\nabla \times B = μ_{0} J + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

Dies war Maxwells Korrektur des Ampere-Gesetzes und wurde immer wieder durch Experimente bestätigt.

Zusammenfassend gibt uns Magnetostatik + Biot-Savart $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$ . Vorhersehbar scheitert dies, wenn wir den Bereich der Magnetostatik verlassen, und ist insbesondere mit der Kontinuitätsgleichung nicht vereinbar. Wir wissen nicht, wie wir Biot-Savart verallgemeinern sollen, aber wenn wir das Problem mit der Kontinuitätsgleichung auf einfachste Weise zusammenflicken, erhalten wir das richtige Amperesche Gesetz, $\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}\mathbf E$ .

Von hier aus können wir rückwärts arbeiten, um die korrekte Verallgemeinerung von Biot-Savart zu finden; das ist eine von Jefimenkos Gleichungen .

BEARBEITEN:

Rückkehr zur ursprünglichen Herleitung nach Eliminierung des Oberflächenterms (aber vor dem Absenden $\nabla'\cdot \mathbf J(\mathbf r')\rightarrow 0$ ), wir haben

\nabla \times B (R) = μ_{0} J (R) - \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \cdot J (R^{'})}{| R - R^{'} |}

$\nabla \times \mathbf B(\mathbf r) = \mu_0 \mathbf J(\mathbf r) - \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\nabla '\cdot \mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$

Unter den Bedingungen, für die Biot-Savart gilt, ist letzterer Term gleich Null; Wir können jedoch mutig sein und diese Einschränkungen beiseite werfen, nur um zu sehen, was passiert. Unter allgemeinen Bedingungen $\nabla \cdot \mathbf J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$ , so dass dieser Begriff wird

\frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \int \frac{\partial ρ}{\partial T} \frac{1}{| R - R^{'} |} D v^{'} = \frac{\partial}{\partial T} \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \int \frac{ρ (R^{'})}{| R - R^{'} |}

$\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int \frac{\partial \rho}{\partial t} \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} dV'= \frac{\partial}{\partial t} \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int\frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$

Definieren

ϕ (R) = \int \frac{ρ (R^{'})}{4 π ϵ_{0} | R - R^{'} |}

$\phi(\mathbf r) = \int \frac{\rho(\mathbf r')}{4\pi \epsilon_0 |\mathbf r-\mathbf r'|}$ und vermieten

E = - \nabla ϕ

$\mathbf E = -\nabla\phi$ , das wird

\nabla \times B = μ_{0} J + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf E$

Was wir hier getan haben – einfach die Bedingungen ignorieren, unter denen Biot-Savart anwendbar ist, und die allgemeinere Kontinuitätsgleichung einstecken – ist moralisch dasselbe wie Maxwells Hinzufügung des zusätzlichen Begriffs, um die Divergenz ungleich Null zu kompensieren $\mathbf J$ .

Beachten Sie auch, dass wir den Übergang von der Magnetostatik zur Elektrodynamik beschönigt haben $\big(\mathbf J(\mathbf r) \rightarrow \mathbf J(\mathbf r,t), \rho(\mathbf r)\rightarrow \mathbf \rho(\mathbf r,t)\big)$ . Einfach einstecken $t$ zu Biot-Savart und es "mitfahren zu lassen" ist unzureichend; Das Rückwärtsarbeiten von den vollständigen Maxwell-Gleichungen zeigt die Notwendigkeit, die verzögerte Zeit einzuführen $t_r = t - \frac{|\mathbf r - \mathbf r'|}{c}$ , was darauf hinweist, dass Biot-Savart für die Elektrodynamik wirklich falsch ist.

@MaJoad Nein. Beachten Sie, dass bei magnetostatischen Bedingungen die rechte Seite Null ist, während die linke im Allgemeinen nicht ist.
Am Ende haben Sie gezeigt, dass Biot Savart mit dem vollständigen Maxwell-Gleichung übereinstimmt, wenn das elektrische Feld durch das Coulomb-Feld gegeben ist. In der Praxis geschieht dies, wenn das induzierte elektrische Feld vernachlässigbar ist, z. B. in der Nähe eines Kondensators für ausreichend niedrige Frequenzen. Biot Savart ist also allgemeiner als das Ampere-Gesetz, es gilt auch, wenn sich das elektrische Feld zeitlich ändert, vorausgesetzt, seine Nicht-Coulomb-Komponente ist vernachlässigbar.

Thomas Fritsch · Answer 2

Unser Ziel ist es abzuleiten $\nabla\times \mathbf B=\mu_0\left(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\right)$ .

Sie können das obige Ampere-Gesetz nicht vollständig ableiten (einschließlich $\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ) aus dem Biot-Savart-Gesetz

A (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{| R - R^{'} |} D v^{'} .

$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'.$

Sie können nur das unvollständige Amperesche Gesetz herleiten (ohne $\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ )

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla\times \mathbf B=\mu_0\mathbf J$ davon.

Ich versuche nur, den Begriff zu verstehen $\partial \mathbf{E}/\partial t$

Der Begriff $\partial \mathbf{E}/\partial t$ lässt sich am besten motivieren, indem man Maxwells Weg folgt.

Vor Maxwell war die Ladungserhaltung bereits eine gut etablierte experimentelle Tatsache. Als Differentialgleichung geschrieben ist dies

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ρ}{\partial T} + \nabla J = 0. \end{matrix}

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0. \tag{1}$

Maxwell kannte auch diese Gesetze:

\begin{matrix} (M1) & ϵ_{0} \nabla E = ρ \end{matrix}

$\epsilon_0\mathbf{\nabla}\mathbf{E}=\rho \tag{M1}$

\begin{matrix} (M2) & \nabla B = 0 \end{matrix}

$\mathbf{\nabla}\mathbf{B}=0 \tag{M2}$

\begin{matrix} (M3) & \nabla \times E = - \frac{\partial}{\partial T} B \end{matrix}

$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{B} \tag{M3}$

\begin{matrix} (M4) & \frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B = J \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J} \tag{M4}$ All dies waren anscheinend auch gut etablierte experimentelle Fakten.

Nun könnte aus (M1) Maxwell ableiten

\frac{\partial ρ}{\partial T} = ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} \nabla E

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$ und von (M4)

\nabla J = 0.

$\nabla{\mathbf{J}}=0.$ Somit

\frac{\partial ρ}{\partial T} + \nabla J \neq 0

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}\neq 0$ was offensichtlich im Widerspruch zu (1) steht.

Also muss eines der Gesetze (1), (M1) und (M4) falsch sein. Trotzdem müssen sie alle zumindest sehr gute Annäherungen sein, denn alle bis zu seiner Zeit durchgeführten Experimente fanden keine Abweichungen.

Maxwells Lösung bestand darin, Gleichung (M4) zu modifizieren:

\begin{matrix} (M4') & \frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B = J + ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E} \tag{M4'}$

Dies hat zwei Konsequenzen:

Der Zusatzbegriff $\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}$ ist wegen des kleinen Wertes extrem klein $\epsilon_0$ . Und deshalb ist die unmodifizierte Gleichung (M4) immer noch eine sehr gute Näherung, und die Änderung ist in allen bisherigen Experimenten mit Strömen und Magnetfeldern unmessbar klein.
Der zusätzliche Term rettet die Ladungserhaltung. Jetzt von (M1) erhalten wir wieder $\frac{\partial ρ}{\partial T} = ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} \nabla E$ $\frac{\partial\rho}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\nabla}\mathbf{E}$ und aus (M4') bekommen wir jetzt $\nabla J = - ϵ_{0} \nabla \frac{\partial}{\partial T} E .$ $\nabla{\mathbf{J}}=-\epsilon_0\mathbf{\nabla}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{E}.$ Somit $\frac{\partial ρ}{\partial T} + \nabla J = 0$ $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\mathbf{J}=0$ was nun mit (1) übereinstimmt.

Die Richtigkeit der Maxwellschen Modifikation wurde bald darauf durch die Entdeckung hochfrequenter elektromagnetischer Wellen experimentell bestätigt. Hier der Begriff $\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ ist bedeutsam.

Die Maxwell-Gleichungen (M1), (M2), (M3) und (M4') können gelöst werden und ergeben die retardierten Potentiale (mit $c:=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$ ):

\begin{aligned} A (R, T) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'}, T - \frac{| R - R^{'} |}{C})}{| R - R^{'} |} D v^{'} \\ Φ (R, T) & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (R^{'}, T - \frac{| R - R^{'} |}{C})}{| R - R^{'} |} D v^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&=\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho\left(\mathbf r',t-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}\right)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$

Offensichtlich sind diese Potentiale wegen des zeitverzögernden Terms nicht identisch mit den Biot-Savart- und Coulomb-Potentialen $-\frac{|\mathbf r-\mathbf r'|}{c}$ .

Aber - wegen des sehr großen Werts von $c$ (Lichtgeschwindigkeit) - es ist oft legitim, diesen zeitverzögernden Begriff zu vernachlässigen, insbesondere bei den Dichten $\mathbf{J}$ Und $\rho$ ändern sich nur langsam mit der Zeit $t$ . Auf diese Weise erhalten wir die Biot-Savart- und Coulomb-Potentiale als Annäherung an die exakten Verzögerungspotentiale.

\begin{aligned} A (R, T) & \approx \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'}, T)}{| R - R^{'} |} D v^{'} \\ Φ (R, T) & \approx \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (R^{'}, T)}{| R - R^{'} |} D v^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)&\approx\frac{\mu_0}{4\pi} \int\frac{\mathbf J(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV' \\ \Phi(\mathbf r,t)&\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int\frac{\rho(\mathbf r',t)}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'. \end{align}$

Ableitung des Ampereschen Gesetzes von Biot-Savart

Ma Joad

J. Murray

Ma Joad

J. Murray

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Puk

Thomas Fritsch

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J. Murray

Ma Joad

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Ján Lalinský

Thomas Fritsch

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Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus den Maxwell-Gleichungen