Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus den Maxwell-Gleichungen

Question

Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus den Maxwell-Gleichungen

JAustin

Als Übung habe ich versucht, das Biot-Savart-Gesetz aus dem zweiten Satz von Maxwells Gleichungen für stationären Strom abzuleiten

\begin{aligned} \nabla \cdot B = 0 & \nabla \times B = μ_{0} J \end{aligned}

$\begin{align}&\nabla\cdot\mathbf{B}=0&&\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}\end{align}$

Ich konnte dies anhand der Tatsache tun, dass ein inkompressibles Feld ein Vektorpotential hat $\mathbf{A}$ , sodass ich die zweite Gleichung umschreiben kann als

\nabla^{2} EIN = - μ_{0} J

$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$

was durch Komponenten gelöst werden kann, die die Green-Funktion für den Laplace-Operator verwenden, was nachgibt

EIN (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

$\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^{3}\mathbf{x}'$

und da $\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{J}+\nabla\psi\times\mathbf{J}$ ,

\nabla \times EIN = B (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J \times (x - x^{'})}{| x - x^{'} |^{3}} d^{3} x^{'}

$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^{3}\mathbf{x}'$

wie gewünscht. Wenn ich jedoch stattdessen die Locke beider Seiten des Ampere-Gesetzes nehme und die Identität verwende $\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}$ zunächst finde ich das

\nabla (\nabla \cdot B) - \nabla^{2} B = 0 - \nabla^{2} B = μ_{0} \nabla \times J

$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}=0-\nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\nabla\times\mathbf{J}$

die ich wieder wie die Poisson-Gleichung lösen kann, ergibt

B (x) = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{\nabla^{'} \times J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3\mathbf{x}'$

was mit der Identität vereinfacht werden kann $\psi(\nabla\times\mathbf{J})=-\nabla\psi\times\mathbf{J}+\nabla\times\left(\psi\mathbf{J}\right)$ , geben

B (x) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (x^{'}) \times (x - x^{'})}{| x - x^{'} |^{3}} d^{3} x^{'} - \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |}) d^{3} x^{'}

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')\times(\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\,d^3\mathbf{x}'-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}'$

Das erste Integral ist genau das Gesetz von Biot Savart, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das zweite Integral zum Verschwinden bringen kann. Ich habe alle offensichtlichen Vektorkalkülidentitäten erschöpft, und das Stokes-Theorem hilft nicht viel. Ich übersehe eindeutig einen offensichtlichen Fehler, aber ich konnte ihn nicht finden. Dies ähnelt anderen Fragen, die zuvor gestellt wurden, aber ich habe eine spezifische Frage zu einem Schritt in der Ableitung, die an anderer Stelle nicht beantwortet wird.

Frobenius

In Ihrer 2. Gleichung fehlt ein Minuszeichen

\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} EIN = - μ_{0} J \end{matrix}

$\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ seit

\begin{matrix} (02) & \nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times EIN) = \nabla \overset{= 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot EIN)}} - \nabla^{2} EIN = - \nabla^{2} EIN \end{matrix}

$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$

AHB

Ich denke, Biot Savarat ist grundlegender als die Maxwell-Gleichungen. Der umgekehrte Prozess hätte meiner Meinung nach durchgeführt werden sollen!

tomph

@AHB deine Bemerkung ist falsch. Die Maxwell-Gleichung ist die Grundlage der Elektrodynamik. Sie sind grundlegend in dem Sinne, dass die gesamte Elektrodynamik aus ihnen (zusammen mit dem Lorentz-Kraftgesetz) abgeleitet werden kann. Es gibt nichts "Grundlegenderes" als sie

AHB

@tomph Ich meine, dass das Gesetz abgeleitet wird, bevor Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden. In Lehrbüchern sprechen sie über das bs-Gesetz, bevor sie Maxwell-Gleichungen einführen.

Javier

@AHB: Keines der Gesetze wird abgeleitet oder, wenn Sie es vorziehen, können beide voneinander abgeleitet werden. Aber man kann kein Lehrbuch anfangen, das das Gesetz von Biot-Savart herleitet; es ist ein experimentelles Ergebnis.

Ján Lalinský

@tomph, die Lorentz-Kraftformel kann nicht aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.

tomph

@JánLalinský Ja, tatsächlich sagte ich "die gesamte Elektrodynamik kann aus [dem ME] ( zusammen mit dem Lorentz-Kraftgesetz ) abgeleitet werden", was bedeutet, dass Sie alle 4 von ME und LFL benötigen, um die Elektrodynamik abzuleiten

Ján Lalinský

@tomph, danke für die Klarstellung. Ich bin kein Muttersprachler, ich habe deinen Beitrag falsch verstanden.

AHB

Hallo @tomph! Sie wissen, was ich meine. Das Lorentz-Kraftgesetz führt zum Biot-Savarat-Gesetz. Dann kommen wir zu den Maxwell-Gleichungen. Es kommt auf die Reihenfolge an. Man beginnt nicht mit Maxwell-Gleichungen, um die grundlegenderen Gesetze zu finden. Ah.

Antworten (2)

Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus den Maxwell-Gleichungen

In Ihrer 2. Gleichung fehlt ein Minuszeichen $\begin{matrix} (01) & \nabla^{2} EIN = - μ_{0} J \end{matrix}$ $\nabla^2\mathbf{A}=\boldsymbol{-}\mu_0\mathbf{J} \tag{01}$ seit $\begin{matrix} (02) & \nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times EIN) = \nabla \overset{= 0}{\overset{⏞}{(\nabla \cdot EIN)}} - \nabla^{2} EIN = - \nabla^{2} EIN \end{matrix}$ $\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A})=\boldsymbol{\nabla} \overbrace{(\nabla\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}^{=0}-\nabla^{2}\mathbf{A}=-\nabla^{2}\mathbf{A} \tag{02}$
Ich denke, Biot Savarat ist grundlegender als die Maxwell-Gleichungen. Der umgekehrte Prozess hätte meiner Meinung nach durchgeführt werden sollen!
@AHB deine Bemerkung ist falsch. Die Maxwell-Gleichung ist die Grundlage der Elektrodynamik. Sie sind grundlegend in dem Sinne, dass die gesamte Elektrodynamik aus ihnen (zusammen mit dem Lorentz-Kraftgesetz) abgeleitet werden kann. Es gibt nichts "Grundlegenderes" als sie
@tomph Ich meine, dass das Gesetz abgeleitet wird, bevor Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden. In Lehrbüchern sprechen sie über das bs-Gesetz, bevor sie Maxwell-Gleichungen einführen.
@AHB: Keines der Gesetze wird abgeleitet oder, wenn Sie es vorziehen, können beide voneinander abgeleitet werden. Aber man kann kein Lehrbuch anfangen, das das Gesetz von Biot-Savart herleitet; es ist ein experimentelles Ergebnis.
@tomph, die Lorentz-Kraftformel kann nicht aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.
@JánLalinský Ja, tatsächlich sagte ich "die gesamte Elektrodynamik kann aus [dem ME] ( zusammen mit dem Lorentz-Kraftgesetz ) abgeleitet werden", was bedeutet, dass Sie alle 4 von ME und LFL benötigen, um die Elektrodynamik abzuleiten
@tomph, danke für die Klarstellung. Ich bin kein Muttersprachler, ich habe deinen Beitrag falsch verstanden.
Hallo @tomph! Sie wissen, was ich meine. Das Lorentz-Kraftgesetz führt zum Biot-Savarat-Gesetz. Dann kommen wir zu den Maxwell-Gleichungen. Es kommt auf die Reihenfolge an. Man beginnt nicht mit Maxwell-Gleichungen, um die grundlegenderen Gesetze zu finden. Ah.

Frotaur · Answer 1

Soweit ich mich erinnern kann, ist die Formel, die Sie erhalten, richtig. Sie können dieses "problematische" Integral verschwinden lassen, indem Sie die folgende Identität verwenden, die wir "Curl Theorem" nennen:

\int \vec{\nabla} \times \vec{w} d v = - \int \vec{w} \times d \vec{S}

$\int\vec{\nabla}\times\vec{w}dV = -\int\vec{w}\times d\vec{S}$

Um zu zeigen, dass dies wahr ist, werden wir nämlich das Divergenz- oder Green-Ostrogradski-Theorem verwenden

\int \vec{\nabla} \cdot \vec{v} d v = \int \vec{v} \cdot d \vec{S}

$\int\vec{\nabla}\cdot \vec{v}dV = \int \vec{v}\cdot d\vec{S}$

Da der Divergenzsatz eine skalare Identität ist, während der Lockensatz eine Vektoridentität ist, benötigen wir drei unterschiedliche Vektorfelder, die wir bezeichnen werden $\vec{v}_i$ . Nun würden wir wollen $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ um eine Identität auf der Locke abzuleiten. Schreibe das in Tensornotation:

\partial^{k} (v_{ich})_{k} = ϵ_{ich k l} \partial^{k} w^{l}

$\partial^k(v_i)_k=\epsilon_{ikl}\partial^k w^l$

Wie wir sehen können, ist es ausreichend zu nehmen $(\vec{v}_i)_k = \epsilon_{ikl}w^l$ und die Beziehung wird erfüllt sein. Für ein solches Vektorfeld gilt also: $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_i = (\vec{\nabla}\times\vec{w})_i$ .

Anwendung des Divergenzsatzes auf $\vec{v}_i$ :

\int (\vec{\nabla} \times \vec{w})_{ich} d v = \int \vec{\nabla} \cdot {\vec{v}}_{ich} d v = \int \vec{v_{ich}} \cdot d \vec{S} = \int (v_{ich})_{k} (d \vec{S})^{k} = \int ϵ_{ich k l} w^{l} (d \vec{S})^{k} = - \int (\vec{w} \times d \vec{S})_{ich}

$\int(\vec{\nabla}\times\vec{w})_idV = \int\vec{\nabla}\cdot\vec{v}_idV = \int\vec{v_i}\cdot d\vec{S} = \int (v_i)_k(d\vec{S})^k = \int\epsilon_{ikl}w^l(d\vec{S})^k = -\int(\vec{w}\times d\vec{S})_i$

Damit ist ein Beweis des "Curl-Theorems" gegeben. Verwenden Sie es für Ihr problematisches Integral:

- \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla^{'} \times (\frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |}) d^{3} x^{'} = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int (\frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |}) \times d {\vec{S}}^{'}

$-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla'\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,d^3\mathbf{x}' = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\right)\,\times d\vec{S}'$

Nun, das Volumenintegral wird über den gesamten Raum durchgeführt, vorausgesetzt, Sie nehmen an, dass dies der Fall ist $\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|} = 0$ , ergibt es einen Beitrag von 0. Warum fügt dies keine verrückten Annahmen hinzu?

Damit diese Grenze nicht Null ist, müssen wir das unbedingt haben $|J(x)|$ tendieren gegen unendlich. In der Tat, nehme an $J(x)$ ist endlich. Dann gibt es eine Konstante $C$ so dass $|J(x)|<C$ . Dann, $lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{|J(x')|}{|x-x'|}<\lim_{x'\rightarrow\infty}\frac{C}{|x-x'|} = 0$ . Wenn also dieses "zusätzliche" Integral nicht verschwinden würde, müssten wir eine unendliche Stromdichte im Unendlichen haben, was nicht so physikalisch zu sein scheint.

Natürlich wurden alle meine Ableitungen im Zusammenhang mit wohlerzogenen Funktionen durchgeführt. Es funktioniert beispielsweise nicht für einen unendlich kleinen Draht, da die Stromdichte zu einer Verteilung wird (unter Verwendung des Dirac-Delta $\delta(x)$ ). Ich bin nicht qualifiziert genug, um diesen Fall rigoros anzugehen, aber ich hoffe, die obige Erklärung gibt eine Vorstellung davon, warum es sinnvoll ist, dieses Integral auf 0 zu setzen.

Danke für die ausführliche Erklärung. Ich habe so etwas früher versucht, fand aber die Anforderung, dass $\mathbf{J}(\mathbf{x}')\rightarrow 0$ bei unendlich ein bisschen suspekt. Ein unendlicher Draht oder Solenoid kann offensichtlich ein physikalisch sinnvolles Magnetfeld erzeugen. Natürlich, es sei denn, wir kümmern uns um das Feld im Unendlichen, $1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$ wird sowieso auf Null gehen, also ist dies kein Problem. Trotzdem ist dies eine Art Komplikation, die ich nicht erwartet hätte.
Ja, das meinte ich mit "lockereren Bedingungen". Es scheint mir auch eine ziemlich einschränkende Bedingung zu sein, aber vielleicht (ich habe mich ehrlich gesagt nicht damit befasst), wenn Sie verlangen, dass Ihr Magnetfeld endlich ist (was meiner Meinung nach eine vernünftige Annahme ist), dann wird dies auferlegt einige Bedingungen der Form von $J(x)$ . Angesichts dieser Bedingungen haben wir das vielleicht $\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\rightarrow 0$ Notwendig. Damit dieser Begriff nicht verschwindet, $J(x)$ kann nicht endlich sein $|x|\rightarrow \infty$ . Dies impliziert einen unendlichen Strom, der unphysikalisch zu sein scheint. Ich werde bearbeiten.
Deine Bearbeitung macht Sinn. Ich mache mir noch ein wenig Sorgen um das Begrenzungsverhalten, da die gleichzeitige Begrenzung da beides $\mathbf{x}$ und $\mathbf{x}'$ ins Unendliche gehen ist potentiell unbestimmt.
Dies sollte kein Problem sein, beachten Sie Folgendes: Die Grenzwerte werden nicht "gleichzeitig" genommen. In der Tat wählen Sie zuerst einen Raumpunkt aus $x$ in dem Sie das Magnetfeld auswerten möchten. Bei dieser Berechnung müssen Sie nehmen $x'$ gehen zu $\infty$ im Randintegral, während $x$ bleibt endlich. Es sollte also kein Problem geben. Nun, wenn Sie bestimmen möchten $B(x)$ zum $|x|$ Wenn Sie ins Unendliche gehen, sollten Sie B als Funktion eines endlichen x berechnen und DANN nehmen $x\rightarrow\infty$ . Also, wenn Sie so wollen, die $x'$ "Grenze" wird immer als endlich angenommen $x$ , auch für beliebig groß $x$ .

Javier · Answer 2

Eine erste Beobachtung ist, dass dies nicht spezifisch für den Magnetismus ist. Genau das Gleiche passiert, wenn Sie versuchen, das Coulombsche Gesetz für das elektrische Feld zu finden; Sie erhalten einen Begriff wie

\int \nabla^{'} \frac{ρ (x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

$\int \nabla' \frac{\rho(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ d^3 \mathbf{x}'$

was null sein sollte. Nun, es sind keine ausgefallenen Vektorkalkülidentitäten beteiligt, sondern nur der einfache alte Fundamentalsatz der Kalküle. Um dies zu sehen, schauen wir uns Ihre Version an. Das Integral ist ein Vektor, und jede Komponente hat wegen der Kräuselung zwei Terme. Konzentrieren wir uns auf den ersten Term der ersten Komponente:

\int \partial_{2}^{'} (\frac{J_{3} (x^{'})}{| x - x^{'} |}) d^{3} x^{'}

$\int \partial'_2 \left( \frac{J_3(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|} \right)\ d^3\mathbf{x}'$

Nach dem Satz von Fubini (unter der Annahme hinreichend gut benommener Funktionen) können wir die drei Variablen in beliebiger Reihenfolge integrieren. Das $x_2'$ Integration ist trivial, weil der Integrand eine totale Ableitung ist, also ist das Ergebnis genau das, was in der Klammer steht $x_2' = \pm \infty$ , die wir normalerweise als Null annehmen. Daher verschwindet dieser Begriff und alle anderen auch, weil sie im Wesentlichen gleich sind.

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