Finden des Vektorpotentials eines unendlichen Zylinders mit gleichmäßigem Oberflächenstrom

Dies ist der zweite Teil eines Problems in Griffiths „Introduction to Electrodynamics 4th Edition“ (Problem 6.16).

Der erste Teil bestand darin, das Magnetfeld in einem Koaxialkabel zu finden (2 konzentrische zylindrische Schalen mit Radien$a$Und$b$,$b>a$, und mit einem linear magnetisierbaren Medium von$X_{m}$zwischen ihnen). Ich konnte dies mit dem Ampere-Gesetz für erreichen$\textbf{H}$.

Der zweite Teil besteht darin, diese Lösung zu überprüfen, indem die gebundenen Ströme aus ihren Definitionen (in Bezug auf die Magnetisierung) ermittelt werden$\textbf{M}$, und dann das von diesen gebundenen Strömen erzeugte Feld finden.

ich habe das gefunden$\textbf{J}_{b}=0$während

$$\textbf{K}_{b}=\frac{X_{m}I}{2\pi s}\hat{I}$$ Wo $s$ist der Radius des zylindrischen Mantels und $\hat{I}$ist die Richtung des Stroms auf dieser bestimmten Schale. Das Problem sollte sich dann darauf reduzieren, das durch den Oberflächenstrom erzeugte Magnetfeld zu finden.

Ich habe genau das versucht, indem ich das Vektorpotential berechnet habe$\textbf{A}$jedes Zylinders und dann über das Superpositionsprinzip die Summe erhalten$\textbf{A}$woraus ich die Summe erhalte$\textbf{B}$über$\textbf{B}=\nabla\times\textbf{A}$.

Das Problem, auf das ich stieß, war, als ich versuchte, mich zu integrieren

$$\textbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int\frac{\textbf{K}}{R}da'$$ über die gesamte Fläche des Zylinders erhalte ich ein nicht konvergierendes Integral. In zylindrischen Koordinaten, $$R=\sqrt{s^{2}+a^{2}-2as*cos(\phi'-\phi)+z^{2}-2zz'+z'^{2}}$$ $$da'=ad\phi'dz'$$ $$\textbf{K}=K\hat{z}$$ mit Integrationsgrenzen: $\phi': (0,2\pi)$, $z': (-\infty,\infty)$.

Was ich getan habe, wurde umgeschrieben$R$durch Vervollständigung des Quadrats für$z'$und die Substitution vornehmen$z'-\alpha=\beta tan\theta$, wodurch sich die Integrationsgrenzen in ändern$\theta$Zu$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Damit reduziert sich aber auch der Integrand auf$sec\theta d\theta$und das Integral divergiert.

Habe ich einen Rechenfehler gemacht? Unter der Annahme, dass das Superpositionsprinzip gilt$\textbf{A}$, dann kann ich nur so eine endliche bekommen$\textbf{B}$ist wenn die Summe des Unendlichen$\textbf{A}$'s ist irgendwie endlich.