Wann ist ∇×B=0∇×B=0\nabla \times B=0?

Question

Wann ist ∇×B=0∇×B=0\nabla \times B=0?

Physik
Magnetostatik
Magnetfelder
magnetisches Moment
Elektromagnetismus

Bunji

In meinem Labor verwende ich Elektromagnete, um eine magnetische Gradientenkraft auf viele sehr kleine (superparamagnetische) Nanopartikel auszuüben, die in ein elastisches Medium eingebettet sind. Ich glaube, dass diese als magnetische Dipole mit einem Dipolmoment behandelt werden können $\mathbf{m}$ .

Es ist allgemein bekannt, dass die Kraft auf ein magnetisches Dipolmoment in einem Magnetfeld gegeben ist durch

F = \nabla (M \cdot B) .

$\mathbf{F} = \mathbf{\nabla}(\mathbf{m} \cdot \mathbf{B}).$

Ich muss mir selbst beweisen, dass dies reduziert werden kann

F = (M \cdot \nabla) B .

$\mathbf{F} = (\mathbf{m} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{B}.$

Ich weiß, dass wir die erste Gleichung umschreiben können, indem wir eine dieser Vektorkalkülidentitäten verwenden, die z. B. auf den Innenumschlägen von Jackson erscheinen:

F = \nabla (M \cdot B) = (M \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) M + M \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times M) .

$\mathbf{F} = \mathbf{\nabla}(\mathbf{m} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{m} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{m} + \mathbf{m} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{m}).$

Das erste Semester ist gut – es kann bleiben!
Kann ich für den zweiten Term das Kommutativgesetz des Skalarprodukts verwenden, um das zu sagen? $\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0$ weil magnetische Monopole nicht existieren?
Auf Seite 374 von Andrew Zangwills Modern Electrodynamics (2013) schreibt er: „When the sources of $\mathbf{B}$ sind also weit weg $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = 0$ , bla bla bla." Das verwirrt mich am meisten. Woher wissen wir das? $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = 0$ ? Kann mir jemand einen Beweis zeigen und/oder mir helfen zu verstehen, was das Kriterium "weit entfernt" im wirklichen Leben bedeutet? (Weit weg relativ zu was?)
Ich denke, der vierte Term ist einfach - da ein Dipolmoment nur 1 Vektor ist, ist die Kräuselung immer Null.

Biophysiker

Um die Klarstellung in der akzeptierten Antwort zu ergänzen.

B \cdot \nabla

$\mathbf{B}\cdot\nabla$ ist selbst ein Betreiber,

B_{i} \partial_{i}

$B_i\partial_i$ , die auf andere Größen angewendet werden können. Deshalb ist es nicht dasselbe wie

\nabla \cdot B = \partial_{i} B_{i} = 0

$\nabla\cdot\mathbf{B}=\partial_iB_i=0$

Antworten (1)

Wann ist ∇×B=0∇×B=0\nabla \times B=0?

Um die Klarstellung in der akzeptierten Antwort zu ergänzen. $\mathbf{B}\cdot\nabla$ ist selbst ein Betreiber, $B_i\partial_i$ , die auf andere Größen angewendet werden können. Deshalb ist es nicht dasselbe wie $\nabla\cdot\mathbf{B}=\partial_iB_i=0$

J. Murray · Answer 1

Das sagt das Amperegesetz

\nabla \times B = μ_{0} J + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial}{\partial T} E

$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}$

also "weit entfernt von Quellen" bedeutet, dass die Stromdichte $\boldsymbol{J}$ als null angenommen werden kann und dass es keine zeitlich veränderlichen elektrischen Felder gibt. Letzteres ist eigentlich eine allgemeine Annäherung, die oft für relativ niederfrequente (einschließlich stationäre) Phänomene gemacht werden kann.

Was die anderen Fragen betrifft, so trifft diese Identität hier eigentlich nicht zu, weil $\mathbf{m\cdot B}$ ist nicht das Skalarprodukt zweier Vektorfelder . Insbesondere die räumlichen Ableitungen von $\mathbf{m}$ sind nicht definiert.

Stattdessen können wir die Indexnotation verwenden, um die tatsächliche Identität zu erhalten, nach der wir suchen. Beachten Sie, dass

[\nabla (M \cdot B)]_{ich} = \partial_{ich} M_{J} B_{J} = M_{J} \partial_{ich} B_{J}

$[\nabla(\mathbf{m\cdot B})]_i = \partial_i m_j B_j = m_j\partial_i B_j$

Dies hat keine sofort offensichtliche Vektorform, aber wir können die folgende Zauberei ausführen (die ich, vollständige Offenlegung, rückwärts gemacht habe):

M_{J} \partial_{ich} B_{J} = (M_{J} \partial_{ich} B_{J} - M_{J} \partial_{J} B_{ich}) + M_{J} \partial_{J} B_{ich}

$m_j\partial_iB_j = (m_j\partial_iB_j - m_j\partial_jB_i) + m_j\partial_jB_i$

= (δ_{ich l} δ_{J M} - δ_{ich M} δ_{J l}) M_{J} \partial_{l} B_{M} + M_{J} \partial_{J} B_{ich}

$= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) m_j \partial _l B_m + m_j\partial_j B_i$

= ϵ_{ich J k} ϵ_{k l M} M_{J} \partial_{l} B_{M} + M_{J} \partial_{J} B_{ich}

$=\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} m_j\partial_lB_m + m_j\partial_j B_i$

= ϵ_{ich J k} M_{J} (ϵ_{k l M} \partial_{l} B_{M}) + M_{J} \partial_{J} B_{ich}

$=\epsilon_{ijk} m_j (\epsilon_{klm}\partial_l B_m) + m_j \partial_j B_i$

= [M \times (\nabla \times B) + (M \cdot \nabla) B]_{ich}

$= [ \mathbf{m}\times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m}\cdot \nabla)\mathbf{B}]_i$ und wenn also

m

$\mathbf{m}$ Und

B

$\mathbf{B}$ ein konstanter Vektor bzw. ein Vektorfeld sind, ist die anwendbare Vektoridentität

\nabla (M \cdot B) = M \times (\nabla \times B) + (M \cdot \nabla) B

$\nabla(\mathbf{m\cdot B}) = \mathbf{m} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m} \cdot \nabla)\mathbf{B}$

Das würden wir natürlich bekommen, wenn wir behandelt würden $\mathbf{m}$ als räumlich konstantes Vektorfeld, also könnte man mit den Händen winken und das sagen $\nabla \mathbf{m}$ Und $\nabla \times \mathbf{m}$ gleich Null sind. Beachten Sie jedoch, dass diese Ausdrücke formal nicht definiert sind.

Abschließend möchte ich klarstellen, dass es beim Divergenzoperator keine "kommutative Eigenschaft des Skalarprodukts" gibt, da die Divergenz kein Skalarprodukt ist . Es sieht nur so aus (und nur in kartesischen Koordinaten), also $div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf B$ ist nichts weiter als ein nützliches Gedächtnisgerät.

Genauer, $div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{B}$ ist ein Skalarfeld, das zufällig gleich ist $0$ überall. Andererseits,

B \cdot \nabla = B_{ich} \partial_{ich} = B_{X} \frac{\partial}{\partial X} + B_{j} \frac{\partial}{\partial j} + B_{z} \frac{\partial}{\partial z}

$\mathbf{B}\cdot \nabla = B_i\partial_i = B_x\frac{\partial}{\partial x} + B_y \frac{\partial}{\partial y} + B_z \frac{\partial}{\partial z}$ ist selbst ein Differentialoperator, den Sie entweder auf Skalar- oder Vektorfelder anwenden können:

(B \cdot \nabla) F = B \cdot (\nabla F)

$(\mathbf{B}\cdot \nabla)f = \mathbf{B}\cdot (\nabla f)$ oder

(B \cdot \nabla) A = [B \cdot (\nabla A_{X})] {\hat{e}}_{X} + [B \cdot (\nabla A_{j})] {\hat{e}}_{j} + [B \cdot (\nabla A_{z})] {\hat{e}}_{z}

$(\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{ A} = \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_x)\big]\hat e_x + \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_y)\big]\hat e_y+\big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_z)\big]\hat e_z$

@Bunji Wenn Sie die Deltas verwenden, um die Dummy-Indizes loszuwerden $l$ Und $m$ Sie sollten sehen, dass die zweite Zeile mit der ersten übereinstimmt. Es ist kein offensichtlicher algebraischer Trick, aber es ist richtig und führt zu der gesuchten Identität.
Sie sollten den letzten Absatz erweitern, um dies zu zeigen $\mathbf B\cdot\nabla$ ist selbst ein neuer Betreiber; Es wird mehr Verwirrung beseitigen, als nur zu sagen, was Sie haben.

Wann ist ∇×B=0∇×B=0\nabla \times B=0?

Bunji

Biophysiker

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J. Murray

meine2cts

J. Murray

Kyle Kanos

J. Murray

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