Kraft und potentielle Energie zwischen zwei magnetischen Dipolen

Question

Kraft und potentielle Energie zwischen zwei magnetischen Dipolen

Poo2uhaha

Ich habe eine Frage zu zwei magnetischen Dipolen in Form von koaxialen stromführenden Schleifen mit beiden Radien $r_0$ ein Abstand $h_0 \gg r_0$ auseinander. Verwenden $h_0 \gg r_0$ Wir können davon ausgehen, dass das B-Feld von einer der Schleifen entlang der Achse der anderen Schleife gleichmäßig ist.

Um die Kraft zu berechnen, die eine der Schleifen erfährt, können wir verwenden $F = -\nabla U = -\frac{d}{dx}U$ , und für $U$ wir nutzen die Tatsache, dass $m\cdot B = U$ für magnetisches Moment $m = IA = I \pi r_0^2$ .

Dies ergibt die richtige Antwort von $F=3\mu_0 \pi r_0^4 I^2 / 2h_0^4$ , verwenden $B = \mu_0 I r_0^2 / 2(h_0^2 + r_0^2)^{\frac{3}{2}} \approx \mu_0 I r_0^2 / 2h_0^3$ , aber ich bin etwas verwirrt darüber, was in diesem Szenario tatsächlich vor sich geht.

Aus Intuition können wir diese beiden Schleifen wie Mini-Bar-Magnete behandeln, und aus Erfahrung sollten sie sich abstoßen oder anziehen (abhängig von der relativen Stromrichtung in jeder Schleife usw.). Dies führt zu einer Translationskraft entlang der Schleifenachse.

Allerdings ist der Ausdruck für $U$ erhält man durch Berücksichtigung der Arbeit, die beim Drehen der Spule gegen das äußere B-Feld von einem senkrechten Ausgangspunkt aus geleistet wird: $U = -W = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta} \tau d\theta '$ , $\tau = m \times B$ für eine Stromschleife in einem B-Feld; Integration gibt eine endgültige Antwort. von $mB\cos \theta = m \cdot B$ . In diesem Beispiel sind die Spulen senkrecht zur Achse und so $\theta = 0$ Und $m\cdot B = mB$ .

Die potentielle Energie, aus der wir unsere Translationskraft ableiten, ist also mit einer Rotation der Schleifen gegen ein B-Feld verbunden, anstatt mit der translatorischen Trennung der beiden Schleifen.

Kann jemand erklären, wie / warum dieser potenzielle Energiegradient zu einer Translationsbewegung anstelle einer Rotationsbewegung führt?

Bitte fragen Sie um Klärung, wenn es notwendig wäre.

Antworten (2)

Kraft und potentielle Energie zwischen zwei magnetischen Dipolen

Semioi · Answer 1

Warum glauben Sie, dass "... der Ausdruck für 𝑈 erhalten wird, indem die Arbeit berücksichtigt wird, die beim Drehen der Spule gegen das externe B-Feld von einem senkrechten Startpunkt aus geleistet wird"? Haben Sie eine Referenz für diese "Tatsache"?

Stattdessen würde ich das behaupten $U$ wird definiert, indem mit zwei mag begonnen wird. Dipole, die unendlich weit voneinander entfernt sind. Die Energie im Unendlichen wird verwendet, um die Energieskala zu definieren, $\lim_{r\to \infty}V_{dd}(r)=0J$ . Jetzt bringen wir die beiden Dipole näher zusammen und berechnen die mit der Entfernung verbundene potentielle Energie $r$ . Daraus ergibt sich das Dipol-Dipol-Potential

v_{D D} (R) = \frac{μ_{0} μ_{M}^{2}}{4 π} \frac{1 - 3 \cos^{2} ϑ}{R^{3}}

$V_{dd}(r) = \frac{\mu_0 \mu_m^2}{4\pi} \frac{1 - 3\cos^2\vartheta}{r^3}$ Wo

μ_{m}

$\mu_m$ ist das magnetische Moment des Dipols. Es sieht aus wie das

Wenn Sie sich die Details ansehen, erhalten Sie einen zweiten Begriff, nämlich a $\delta$ Potenzial.

RW Vogel · Answer 2

Im Allgemeinen ist dies ein komplexes Problem. Wenn Sie nur einen Dipol haben, wird keine Energie benötigt, um ihn zu bewegen. Dann besteht das Problem darin, die potentielle Energie eines zweiten Dipols zu finden, der in die Nähe des ersten gebracht wird. Ein Teil der Energie ist mit der Translation des zweiten Dipols verbunden und ein anderer Teil mit seiner Ausrichtung. Die einfachste zu berechnende Übersetzung wäre, den zweiten Dipol entlang der Symmetrieachse des ersten mit ausgerichteten Dipolmomenten einzubringen. Die erforderliche Translationskraft hängt dann von der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Feldes an jedem Punkt ab. Wenn die Dipole klein im Vergleich zum Trennungsabstand sind, ist dieser proportional zum Gradienten des Feldes an jedem Punkt entlang der Achse. (Es ist die Komponente des Feldes senkrecht zur Achse, die eine Translation verursacht oder ihr entgegenwirkt. ) Wenn der zweite Dipol außeraxial oder gekippt ist, wird diese Berechnung viel komplexer. Nachdem Sie den zweiten Dipol eingebracht haben, können Sie die Arbeit berechnen, die erforderlich ist, um seine Ausrichtung zu ändern (wiederum einfacher, wenn Sie ein einheitliches Feld annehmen).

Kraft und potentielle Energie zwischen zwei magnetischen Dipolen

Poo2uhaha

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Semioi

RW Vogel

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