Berechnung des Magnetfeldes um einen stromdurchflossenen Draht beliebiger Länge mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen

Hallo, ich versuche, die Maxwell-Gleichungen zu verwenden, um die elektromagnetischen Felder in verschiedenen Ladungs- / Stromsituationen zu berechnen, z. B. aus einer Ladungsverwendung$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$um das Coulombsche Gesetz zu erhalten. Ein Bereich, in dem ich jedoch hängen bleibe, ist das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht endlicher Länge. Ich weiß, wie man das mit dem Biot-Savart-Gesetz für Drähte vieler Formen macht, aber ich kann es anscheinend nicht herausfinden, wenn ich nur von der Ampere-Maxwell-Gleichung ausgeht:$\nabla\times B=\mu_0(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$. Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Drahtlänge in diese Gleichungen integrieren kann, und ich bekomme immer wieder die Gleichung für einen Draht mit unendlicher Länge.

Hier ist mein allgemeiner Prozess:

Es gibt einen geraden Draht mit Länge$l$und Radius$r$einen Strom tragen$I$. Wir wollen die Stärke des Magnetfeldes finden$B$in einer Entfernung von$x$von der Mitte des Drahtes. Der Punkt wird vertikal an der Linie ausgerichtet, sodass der Abstand zwischen dem Punkt und beiden Enden des Drahts gleich ist.

Wir beginnen mit der Ampere-Maxwell-Gleichung:

$$\nabla\times B=\mu_0(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$$

Wir können fallen$\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$da sich das elektrische Feld nicht ändert.

$$\nabla\times B=\mu_0 J$$

Die Stromdichte$J$erweitert wird$\frac{I}{\pi r^2}$:

$$\nabla\times B=\frac{\mu_0 I}{\pi r^2}$$

Finden$B$wir können den Satz von Stokes verwenden, der zeigt, dass das Magnetfeld entlang des Umfangs$L_1$eines Kreises$A_1$wird gefunden, indem die magnetische Locke innerhalb dieses Kreises integriert wird (Symmetrie vorausgesetzt):

$$\int_{L_1} B_1 \cdot dL_1 = \iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1$$

Im obigen Diagramm hat der Kreis den Radius$r$und ist in der Mitte des Drahtes positioniert, also löst man für$B_1$sollte uns das Magnetfeld an der Oberfläche des Drahtes geben. Um es in einer Entfernung von zu finden$x$verwenden wir die Tatsache, dass außerhalb des Drahtes kein Strom fließt. Mit anderen Worten, die Wellung innerhalb des Drahtes ist$>0$und überall außerhalb davon ist$=0$. Also für jeden Radius$>r$des Kreises ist das Integral darin konstant und gleich dem des Kreises$A_1$.

Also, wenn wir einen zweiten Kreis haben$A_2$mit Radius$x$:

$$\int_{L_1} B_1 \cdot dL_1 = \iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1 = \iint_{A_2} \nabla \times B \cdot dA_2 = \int_{L_2} B \cdot dL_2$$

$$\iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1 = \int_{L_2} B \cdot dL_2$$

Unter der Annahme vollkommener Symmetrie gilt:$B$Und$\nabla \times B$sind innerhalb des Integrals konstant, können also herausgezogen werden:

$$\nabla \times B\iint_{A_1} dA_1 = B\int_{L_2} dL_2$$

Auflösen für$B$

$$\frac{\mu_0 I}{\pi r^2} \cdot \pi r^2 = B \cdot 2 \pi x$$

$$\mu_0 I = B \cdot 2 \pi x$$

$$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$$

Dies ist jedoch die Gleichung für das Magnetfeld um einen Draht von unendlicher Länge . Ich versuche, einen für die Länge zu finden$l$. Ich bin völlig ratlos, wo ich in den vorherigen Schritten verwenden würde$l$. Warum ist auch ein unendlicher Draht das Ergebnis dieser Schritte, nirgendwo habe ich die Länge des Drahtes angegeben.

Was ich frage, ist, ausgehend von der letzten Maxwell-Gleichung, wie würde ich das Magnetfeld um einen Draht endlicher Länge berechnen? Was mache ich falsch? Jede Hilfe / Einsicht wäre willkommen.