Gültigkeit des Ampèreschen Gesetzes in Bezug auf HHH

Wenn ich die Frage richtig verstehe, liegt die Antwort im Absatz 6.3.3 des Buches von Griffiths. Ja, es erbt die Diskontinuität. In diesem Fall könnten Sie immer noch die Differentialgleichung direkt über und direkt unter der Diskontinuität verwenden, und wenn Sie einen Integrationspfad nehmen, der die Grenze kreuzt, erhalten Sie Randbedingungen für das Magnetfeld und für das Hilfsfeld. Eine weitere Referenz ist diese:

https://unlcms.unl.edu/cas/physics/tsymbal/teaching/EM-913/section6-Magnetostatics.pdf

Hat es geposted:

Ja, Sie können den Satz immer noch verwenden, wenn Sie mit den Integrationsbereichen vorsichtig sind. Das Schleifenintegral wird aufgrund dessen, was ich in den Kommentaren gesagt habe, auch im Falle einer Diskontinuität definiert.

Ist diese Integralgleichung gültig, wenn sie über eine Grenze eines magnetisierten Materials angewendet wird (das heißt, ein Ende des Integrals befindet sich innerhalb des magnetisierten Körpers und das andere außerhalb)? Oder erbt es irgendwelche Probleme von seiner differentiellen Form?

Es gibt eine Annahme bezüglich dieser Randbedingung, die aus verschiedenen Gründen oft übersehen wird, aber manchmal problematisch werden kann. Die Grenzen dieser Annahme werden ausführlich in den Abschnitten I.5 und I.6 von Classical Electrodynamics, dritte Ausgabe von John D. Jackson (dh blaue Coverversion) diskutiert. Also fangen wir an mit:

Typischerweise kehrt man das Folgende sozusagen unter den Teppich. Es kann eine Oberflächenstromdichte geben,$\mathbf{K}$, die in einer dünnen Schicht nicht dicker als eine Elektronenhauttiefe auf der Oberfläche des leitenden Materials vorhanden ist, entweder verursacht durch zeitlich veränderliche Felder oder nur aufgrund einer Quelle vorhanden. In solchen Szenarien ändert sich die rechte Seite von Gleichung 0 zu:

Es gibt ein weiteres Problem, das an einer solchen Grenze auftaucht, was Jackson als wirklich mikroskopische Oberflächenladungsdichten bezeichnet , dh$\rho\left( x \right) = \sigma \delta\left( x \right)$Wo$\sigma$ist die durchschnittliche Oberflächenladungsdichte und$\delta\left( x \right)$ist die Dirac-Delta-Funktion . Das idealisierte Szenario, das uns im Unterricht beigebracht wird, ist das$\sigma$an der Oberfläche vorhanden ist und nur an der Oberfläche eine Dicke von Null hat, dh keine Ladungsdichte innerhalb von Leitern. Die Wahrheit ist jedoch, dass$\rho\left( x \right)$ist auf das Innere beschränkt$\pm 2$Angström der „Oberfläche“ der Ionenverteilung. Für fast alle Zwecke gibt es an dieser Grenze eine Diskontinuität im elektrischen Feld, aber in Wirklichkeit variiert es wahrscheinlich über eine endliche Länge, die mit einigen Atombreiten oder so vergleichbar ist.

Die Kräuselung ist jedoch nicht an der Grenze definiert, also ist das Schleifenintegral gut definiert? Eine andere Art zu sagen ist: Kann ich das Stokes-Theorem verwenden, wenn die Curl-Funktion in einer Region nicht definiert ist?

Es hängt davon ab, was Sie tun. Testen Sie, was Jackson das Mikroskopische oder das Makroskopische nennen würde ? Im letzteren Fall sind die Dinge viel einfacher und die rechte Seite von Gleichung 0 kann verschwinden, wenn keine signifikante Oberflächenstromdichte vorhanden ist.$\mathbf{K}$, an der Grenze. Auch wenn vorhanden, kann man je nach Szenario immer noch mit Gleichung 0 oder 1 arbeiten und sinnvolle Ergebnisse für makroskopische Näherungen erhalten.

Nebenbemerkung
Ich habe Jacksons Definition von mikroskopisch vs. makroskopisch nicht neu abgeleitet , weil es 10 Seiten in seinem Buch sind und hier nicht wirklich notwendig sind. Es geht im Wesentlichen darum, den Unterschied zwischen räumlichen und zeitlichen Mittelwerten zu notieren und warum räumlich die richtige Wahl ist, dann viele Details darüber, warum XYZ unter WUV-Grenzen in Ordnung ist. Die Unterscheidung in Bezug auf diese Frage besteht darin, ob das OP richtig modellieren möchte$\mathbf{H}$über die Grenze auf Skalen bis zum Atom hinausgehen oder wenn sie mit den typischen Annäherungen im größeren Maßstab von Mikrometern und darüber in Ordnung sind (Geben oder Nehmen).

Das Konturintegral über die Grenze sollte nicht als direkte Anwendung des Satzes von Stoke in diesem Bereich betrachtet werden, sondern in einem ähnlichen Geist wie das Prinzip der analytischen Fortsetzung.

Der Satz von Stokes

Diese Beziehung gilt, wenn$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$vorhanden ist. Es ist natürlich nicht festzuhalten wann$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$weicht ab.

In der Region jenseits der Grenze, obwohl$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$divergiert, ist das Flächenintegral fehlgeschlagen, aber das Konturintegral funktioniert noch. Als Definition übernehmen wir dann das Konturintegral, erweitert auf solche Bereiche.

Daher die Relation

ist eine analytische Fortsetzung in den grenzüberschreitenden Raum, sogar die$\nabla \times \bf{H}$weicht darin ab.

Ähnlich,$\boldsymbol{\nabla}\cdot\bf{E}$weicht ab$r=0$für$1/r^2$Feld, aber das Oberflächenintegral arbeitet dort immer noch

Wir übernehmen also das Ergebnis aus dem Oberflächenintegral, um die Stärke der Divergenz zu definieren.

Verwenden Sie einfach das Gesetz von Ampère für$\mathbf B$um den Gesamtstrom zu erhalten. Subtrahieren Sie dann den gebundenen Strom vom Ergebnis, um den freien Strom zu erhalten, falls erforderlich.