Fehlende Hypothese in Elektromagnetismus-Texten

In den Feynman Lectures, Kapitel 21, finde ich die Aussage

Wir haben die Maxwell-Gleichungen gelöst. Angesichts der Ströme und Ladungen unter allen Umständen können wir die Potentiale direkt aus diesen Integralen finden und dann differenzieren und die Felder erhalten.

In Purcells Buch über Elektrizität und Magnetismus finde ich die Aussage

Abgesehen von der möglichen Hinzufügung eines konstanten Feldes, das den gesamten Raum durchdringt, sind die Bedingungen C u R l ( B ) = 4 π J / C Und D ich v ( B ) = 0 , das Magnetfeld einer gegebenen Stromverteilung eindeutig bestimmen.

Ich habe das Lehrbuch von Griffiths gerade nicht vor mir, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass er etwas Ähnliches sagt.

Offensichtlich sind alle diese Aussagen falsch. Wenn zum Beispiel die Strom- und Ladungsverteilung identisch Null sind, dann kann ich die Maxwell-Gleichungen durch Setzen lösen E = G R A D ( F ) Und B = G R A D ( G ) Wo F Und G beliebige harmonische Funktionen sind, so dass insbesondere E Und B sind keineswegs eindeutig (selbst bis auf die Addition eines konstanten Vektorfeldes).

Vermutlich gibt es also eine Hypothese, die Feynman, Purcell und andere ausgelassen haben, möglicherweise weil sie dachten, es sei zu offensichtlich, um sie zu erwähnen. Was ist das für eine Hypothese?

Ich glaube, ihnen fehlen die Randbedingungen.
Als konkretes Beispiel können Sie bei jeder Maxwell-Lösung Lichtwellen (EM-Strahlung) oder Nahfelder (evaneszente EM-Wellen) hinzufügen. Nun divergieren offensichtlich die evaneszenten Wellen, aber Lichtwellen können vollständig kompakt sein.

Antworten (2)

Allen diesen Aussagen fehlt die Annahme, dass Randbedingungen als gegeben angenommen werden.

ZB für die Poisson-Gleichung Δ F = ρ , die Lösung ist eindeutig für Dirichlet- und/oder Neumann-Randbedingungen, siehe zB Abschnitt 1.9 in Jacksons "Classical Electrodynamics" .

Danke schön. Es erscheint mir etwas seltsam, dass Sie einem Feld, das ein isotropes Universum durchdringt, Randbedingungen auferlegen können. Bin ich falsch, darüber beunruhigt zu sein?
@WillO: Was ist beunruhigend daran, eine geschlossene Metalloberfläche herstellen zu können, die das Feld innen von außen trennt (wobei die Schließung nicht wirklich notwendig ist, um Randbedingungen einzuführen)? Dass das Schließen dieser Oberfläche nicht triviale Konsequenzen haben kann, vermitteln wir in der High School mit Elektrostatik-Experimenten ...
@WillO: Für ein Feld, das "das Universum durchdringt", werden die geeigneten Bedingungen entweder dadurch gegeben, dass die Gleichungen in einer Box (mit Null-Randbedingungen) gelöst werden und dann die Grenzen der Box gegen unendlich tendieren, oder indem sie von Anfang an fordern dass das Feld schneller gegen Null geht als die Oberfläche einer Kugel mit Radius R wächst ins unendliche..
@CuriousOne: Danke für die Bearbeitung deines Kommentars. Ich habe die erste Version nicht verstanden, aber jetzt ist es viel klarer.
@WillO: Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob es vollständig ausdrückt, was ich zu sagen versuche ... aber ich stimme Ihrer Beobachtung zu, dass die tatsächliche Schwierigkeit, Lösungen für Maxwells Gleichungen zu berechnen, unterschätzt und in Physiklehrbüchern oft falsch dargestellt wird. Sobald wir Materie im Spiel haben, ist es ein wirklich schwieriges Problem, das einige sehr sorgfältig entworfene numerische Methoden und viel Rechenzeit erfordert.
ACuriousMind: Okay, das macht Sinn (ebenso wie der Kommentar von @Curiousone). Danke schön. Ich schätze, meine letzte Folgefrage lautet: Welche Beschränkungen dürfen wir den Randbedingungen auferlegen? (Oder wo kann ich darüber lesen?)
@WillO: Ich denke, Sie möchten dies vielleicht noch einmal in der Mathematik fragen, weil es ein nicht triviales mathematisches Problem für Wellengleichungen zu sein scheint und ich nicht sicher bin, ob die Physik den Schwierigkeitsgrad der Existenz und die Einzigartigkeit von Lösungen schätzt.
@WillO: Es gibt ein bestimmtes Oberflächenintegral, das durch die Randbedingungen verschwinden muss, vgl. der Wikipedia-Artikel .
Ich denke, der richtige Weg, dies zu sagen (oder zumindest der Weg, der für mich am einfachsten ist), ist nicht, dass wir einer Box unbedingt Null-Randbedingungen auferlegen, sondern dass es eine Box gibt, in der wir die Feldwerte kennen (möglicherweise null , möglicherweise nicht), und diese bekannten Werte bilden die Randbedingungen.
@WillO Re "Es scheint mir etwas seltsam zu sein, dass Sie einem Feld, das ein isotropes Universum durchdringt, Randbedingungen auferlegen können" - beachten Sie, dass die Randbedingung, dass die Felder bei räumlicher Unendlichkeit (oder möglicherweise zusätzlich schneller als 1 / R ) behält tatsächlich die Rotations- und Translationsinvarianz bei, da Sie nur endliche Translationen vornehmen können.

Ich denke, dass sich die von Ihnen zitierten Texte auf lokalisierte Ladung und Stromdichten beziehen und die Felder im gesamten Raum definiert sind. Die natürliche Anforderung ist, dass die Vektorfelder so weit von den Quellen entfernt sind, wie sie zerfallen 1 / R 2 oder schneller, gleichmäßig in alle Richtungen. Dies ist die Hypothese eines für statische Felder geeigneten Induktionsfeldes . Bei dieser Forderung bestimmen die elektrostatischen und magnetostatischen Gleichungen eindeutig eine Lösung. Beim Umgang mit potentiellen Feldern ist die Anforderung, dass sie als zerfallen 1 / R oder schneller. Ihr Gegenbeispiel funktioniert nicht, da Ihre harmonischen Funktionen begrenzt wären (von unten oder von oben) und daher im Hinblick auf den Satz von Liouville für harmonische Funktionen in konstant sein müssen R N . Da sie im Unendlichen verschwinden, müssen sie überall Null sein.

Danke. Das ist sehr hilfreich und ich hätte es sicherlich akzeptiert, wenn es vor der Antwort von @ACuriousMind eingetroffen wäre.
@Timaeus: Ich denke, sie haben es beide verdient!
Keine Sorge, es ist ok so wie es ist.
Fehlende Hypothese in Elektromagnetismus-Texten
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