Wo mache ich einen Fehler bei der Ableitung der ersten Maxwell-Gleichung in Differentialform?

Nur weil die beiden Integrale über dasselbe Volumen gleich sind, bedeutet das nicht, dass die Integranden gleich sind. Wenn jedoch die integrale Beziehung

$$\int _V \nabla \cdot \mathbf{E} \ dV = \int _V \rho \ dV$$

gilt für jedes Volumen, dann kann es auf ein unendlich kleines Volumen angewendet werden,$V_{i}$, wofür$\rho$ist eine Konstante. Dann bekommst du die Relation

$$\int _{V_i} \nabla \cdot \mathbf{E} - \rho \ dV = 0$$

Dies lässt sich überall punktweise anwenden und ergibt die Differentialform.

Es sieht so aus, als würden Sie die Konvention verwenden, bei der nicht gestrichene Koordinaten den Raumpunkt darstellen, an dem Sie "interessiert" sind, und gestrichene Koordinaten sich auf die Koordinaten der Ladungsdichte beziehen. So wird zum Beispiel das Coulombsche Gesetz

$$\mathbf E(\mathbf r)=\iiint\frac{\rho(\mathbf r')(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\ \text dV'$$

Für das, was Sie versuchen, ist die Unterscheidung zwischen gestrichenen und nicht gestrichenen Koordinaten jedoch irrelevant. Dies liegt daran, dass wir für das Gaußsche Gesetz in integraler Form, mit dem Sie beginnen, nicht zwischen diesen beiden räumlichen Koordinaten unterscheiden müssen. Sie definieren eine Oberfläche und betrachten das Feld auf dieser Oberfläche und die darin enthaltene Ladung. Daher müssen Sie sich nur um einen Satz räumlicher Koordinaten kümmern, nicht um zwei.

Es könnte für Sie ohnehin besser sein, einen einzelnen Satz von Koordinaten für so etwas wie das Coulombsche Gesetz zu berücksichtigen. Wir geben einen festen Punkt im Raum an$\mathbf r_0= x_0\hat x+y_0\hat y+z_0\hat z$und integrieren dann über die räumlichen Koordinaten, die unsere Ladungsverteilung enthalten:

$$\mathbf E(\mathbf r_0)=\iiint\frac{\rho(\mathbf r)(\mathbf r_0-\mathbf r)}{|\mathbf r_0-\mathbf r|^3}\ \text dV$$

Wir verwenden hier wirklich nur einen Satz von Koordinaten zusammen mit einem bestimmten Mitglied dieser Koordinaten.

Wenn wir also Ihre gesamte Herleitung hier zusammenstellen, beginnen wir mit dem Gaußschen Gesetz in integraler Form:

$$\displaystyle\oint\mathbf E(\mathbf r)\cdot\text d\mathbf A=q_{enc}$$ Wo wir über eine beliebige Oberfläche links und rechts integrieren, ist, wie viel Ladung in dieser Oberfläche enthalten ist. Beachten Sie, dass die eingeschlossene Ladung keine Funktion ist, sondern ein einzelner Wert, der auf der von uns gewählten Oberfläche basiert. Beachten Sie auch den infinitesimalen Flächenvektor$\text d\mathbf A$und der Vektor$\mathbf r$beziehen sich auf dieselben Raumkoordinaten.

Dann verwenden wir links den Divergenzsatz und rechts die Definition der Ladungsdichte:

$$\iiint\nabla\cdot\mathbf E(\mathbf r)\ \text dV=\iiint\rho(\mathbf r)\ \text dV$$

Beachten Sie, dass diese beiden Integrale über demselben Volumen liegen, das das Volumen ist, das in der zuvor ausgewählten Oberfläche enthalten ist. Wie in anderen Antworten erwähnt, können wir sagen, dass diese Integranden äquivalent sind, da die von uns gewählte Oberfläche willkürlich war.

Beachten Sie, dass$q$ist im Allgemeinen keine Funktion von Raumkoordinaten. Die Dichte$\rho$Ist. Die rechte Seite der Maxwell-Gleichung ist es also wirklich

$$\int \rho(x, y, z) dV$$