Können die Gesetze von Gauß und Ampere in Bezug auf die Divergenz eines Energie-Vier-Vektors geschrieben werden?

In den ersten 20 Minuten dieses Videos leitet Susskind die Kontinuitätsgleichung zur Ladungserhaltung her:

$$\dot{\rho}+\nabla\cdot\vec{J}=0$$

(Wo$\vec{J}=\frac{\partial\dot{q}^m}{\partial A^m} \:; \:\:\:m=1,2,3 \:\:$ist die Stromdichte oder, wie Susskind es nennt, einfach der Strom.)

(Und$m=1,2,3$indiziert die Raumkomponenten x,y,z)

Und zeigt dann, dass diese Kontinuitätsgleichung kompakter als Divergenz eines aktuellen Vierervektors geschrieben werden kann:

$$\dot{\rho}+\nabla\cdot\vec{J}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}=0\:; \:\:\:\mu=0,1,2,3 \:\:$$

(Wo$\mu=0$indiziert die Zeitkomponente. Für den Rest dieses Beitrags zeigt ein geschweifter Buchstabe einen Vierervektor an, während ein nicht geschweifter Buchstabe mit einem Pfeil darüber einen gewöhnlichen Vektor mit drei Leerzeichen anzeigt.)

Das heißt, er demonstriert das$\dot{\rho}$kann als Zeitkomponente der Divergenz des Stroms betrachtet werden.

Meine Hauptfrage ist: Wenn$\rho$eine Zeitkomponente ist (dh nach der Zeit differenziert), hat das Gaußsche Gesetz dann nicht auch einen kompakteren Ausdruck als die Divergenz eines Energie-Vier-Vektors? Hier ist die Begründung:

Wenn die Kontinuitätsgleichung abgeleitet wird, indem man die Divergenz des Ampere-Gesetzes nimmt, sehen wir das$\nabla\cdot \dot{E}=\dot{\rho}$. Gut, wenn$\rho$eine Zeitkomponente ist, dann muss dies das bedeuten$\dot{E}=\rho$. Daraus folgt, dass das Gaußsche Gesetz als Divergenz des Energie-Vier-Vektors geschrieben werden kann:

$$\nabla\cdot \vec{E}=\rho \:;\:\:\: \vec{E}=(E^1,E^2,E^3)\rightarrow \partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=0\:; \:\:\:\mu=0,1,2,3 \:\:$$

Und als logische Folge folgt daraus, dass die Divergenz des aktuellen Vierervektors gleich dem Laplace-Operator des Energie-Vierervektors ist?

$$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$$

Begründung: Wenn$\rho$eine Zeitkomponente ist, dann ergibt die Divergenz des Gaußschen Gesetzes:

$$\nabla^2\vec{E}=\dot{\rho}$$

...was seit$\dot{E}=\mathcal{E}^{0}=\rho$, kann auch geschrieben werden

$$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=0$$

Aber durch Susskinds kompakten Ausdruck der Kontinuitätsgleichung wissen wir das$\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}=0$. Daher können die beiden gleichgesetzt werden:$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$.

Und schließlich, wenn diese Folgerung wahr ist, folgt daraus nicht auch, dass das Amperesche Gesetz einen kompakteren Ausdruck hat als:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\nabla\times\vec{B}$$

Begründung: Durch Integrieren beider Seiten des Korollars erhält man:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\mathcal{J}^{\mu}$$

Aber die RHS davon kann auch geschrieben werden:

$$\mathcal{J}^{\mu}=\rho+\vec{J}$$

...was seit$\rho=\dot{E}$, ist auch:

$$\mathcal{J}^{\mu}=\dot{E}+\vec{J}$$

Aber die RHS davon ist nur das Amperesche Gesetz ($\nabla\times\vec{B}=\dot{E}+\vec{J}$). Daher hat das Amperesche Gesetz den folgenden kompakten Ausdruck in Bezug auf die Divergenz des Energie-Vier-Vektors:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\nabla\times\vec{B}$$

Daraus folgt (glaube ich) automatisch eine wünschenswerte Eigenschaft - dass das Magnetfeld nicht rotierend ist ($\nabla\times \vec{B}=0$) - da der kompakte Ausdruck für das Gauß'sche Gesetz ist$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=0$.