Wenn das Amperesche Gesetz das Biot-Savart-Gesetz impliziert, das das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus impliziert, bedeutet das, dass Maxwells Gleichungen überflüssig sind?

Beim Studium des Elektromagnetismus bin ich auf folgende Tatsache gestoßen:

  • Die dritte Maxwell-Gleichung (Divergenz des Magnetfelds ist Null) kann aus dem Biot-Savart-Gesetz abgeleitet werden.
  • Das Biot-Savart-Gesetz kann aus dem Maxwell-Ampère-Gesetz abgeleitet werden

Daher scheinen die vier Gleichungen redundant zu sein.

Leider habe ich dazu nichts gefunden, also frage ich: stimmt das?

EDIT: Der Vollständigkeit halber ist dies der Beweis der 3. Gleichung (dies ist im Grunde Griffiths Beweis):

B → ( R ) = ∭ K μ 0 ich 4 π J → × R → R 3 D τ ' = ∭ K μ 0 ich 4 π   J → × ∇ ( − 1 R ) D τ '
Durch Anwendung der Divergenz auf beide Terme erhalten wir:
div B → = μ 0 ich 4 π ∭ K div ( J → × ∇ ( − 1 R ) ) D τ ' = μ 0 ich 4 π ∭ K ∇ × J → ⋅ ∇ ( − 1 R ) − J → ⋅ ∇ × ∇ ( − 1 R ) D τ ' = 0

Der letzte Term ist Null, da die Kräuselung eines Gradienten immer Null ist und die Divergenz von J → ist null ( J → hängt nur von gestrichenen Koordinaten ab).

Und das ist die Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus dem Maxwell-Ampère-Gesetz: Wird das Biot-Savart-Gesetz empirisch ermittelt oder kann es abgeleitet werden?

Bitte zeigen Sie die Details Ihres Nachweises.
Ich habe den Beweis / die Referenzen hinzugefügt.
Mit Ihrer Definition von "redundant" ist jeder mathematische Satz überflüssig. Alles, was Sie brauchen würden, wären Axiome.
Das habe ich eigentlich nicht gemeint. Maxwells Gleichungen sind in gewisser Weise die Axiome der Elektromagnetismustheorie, daher war meine Frage, ob eines der Axiome aus den anderen Axiomen abgeleitet werden könnte (es wäre also tatsächlich ein Theorem).

Antworten (2)

Da es im Biot-Savart-Gesetz keinen magnetischen Ladungsterm gibt, ist es nur richtig, wenn das Gaußsche Gesetz für Magnetismus ( ∇ ⋅ B = 0 ) ist wahr und es gibt keine magnetischen Monopole. Es macht also Sinn, dass das Gaußsche Gesetz aus dem Biot-Savart-Gesetz abgeleitet werden kann.

Das Biot-Savart-Gesetz kann jedoch nicht aus dem Maxwell-Ampère-Gesetz abgeleitet werden, ohne implizit das Gaußsche Gesetz anzunehmen. Im Allgemeinen wissen wir dies sowohl wegen des Fehlens eines magnetischen Ladungsterms als auch weil, wie Giorgio betonte, die Kräuselung und Divergenz eines Vektorfelds unabhängige Größen sind. Das spezifische Problem mit dem von Ihnen zitierten Beweis besteht darin, dass er von einem kontinuierlichen Vektorpotential ausgeht A so konstruiert werden kann ∇ × A = B , was nicht gilt, wenn es magnetische Monopole gibt.

Kräuselung und Divergenz eines Vektorfeldes sind unabhängige Größen ( das Theorem von Helmholtz erlaubt es, ein Vektorfeld zu rekonstruieren, wenn beide bekannt sind). Es ist also unmöglich, für jede dieser beiden Größen etwas aus der anderen abzuleiten.

Es ist erwähnenswert, dass das Biot-Savart-Gesetz dem Satz von Helmholtz für ein divergenzfreies Vektorfeld entspricht. In ähnlicher Weise entspricht das Coulombsche Gesetz dem Satz von Helmholtz für ein wellenfreies Vektorfeld.
Wenn das Amperesche Gesetz das Biot-Savart-Gesetz impliziert, das das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus impliziert, bedeutet das, dass Maxwells Gleichungen überflüssig sind?
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