Gilt das Gaußsche Gesetz für zeitabhängige elektrische Felder?

Sie müssen aufpassen, was Sie mit dem zweideutigen Begriff "ableiten" meinen, der entweder "historisch abgeleitet" (dh motiviert durch oder eine Ableitung von im nicht-mathematischen Sinne) oder "logisch / mathematisch abgeleitet" bedeuten kann. .

Historisch gebe ich dir da recht$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$wurde von Maxwell von der elektrostatischen Version "abgeleitet".$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$, die wiederum aus dem Coulombschen Gesetz "abgeleitet" wurde.

Logischerweise ist es umgekehrt.$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$ist ein Grundgesetz des Universums (zumindest im klassischen Elektromagnetismus; in Wirklichkeit ist es aus der Quantenelektrodynamik „abgeleitet“). Die elektrostatische Version davon lässt sich als Sonderfall mathematisch aus diesem Gesetz "ableiten". Dasselbe gilt für das Coulombsche Gesetz.

Nein, wir können es nicht beweisen; Maxwell postulierte, dass es dynamisch halten würde, weil dies am sinnvollsten sei, als er über das Problem des Verschiebungsstroms nachdachte. Wie Sie wahrscheinlich wissen, dachte Maxwell über die Widersprüchlichkeit zwischen dem Ampère-Gesetz für die Magnetostatik und der Ladungskontinuitätsgleichung nach. Das Ampèresche Gesetz für die Magnetostatik lautet$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$; wenn wir die Divergenz beider Seiten dieser Gleichung nehmen, erhalten wir$0=\nabla\cdot\vec{J}$für jedes Magnetfeld mit stetigen zweiten Ableitungen. Dies verletzt die Ladungskontinuitätsgleichung; wir brauchen$0=\nabla\cdot\vec{J} + \partial_t\,\rho$. Wir müssen also im dynamischen Fall rechts vom Ampèreschen Gesetz einen Term hinzufügen, dessen Divergenz die Ladungsdichte ist$\rho$. Die einfachste Lösung ist anzunehmen, dass das elektrostatische Gesetz von Gauß im dynamischen Fall gilt: Dann addieren wir die elektrische Verschiebung zur RHS von Ampère und es hat die richtige Divergenz, um alles richtig in Übereinstimmung mit der Kontinuitätsgleichung zu bringen. Beachten Sie, dass wir auch einen beliebigen Vektor der Form hinzufügen können$\nabla\times \vec{N}$auf die elektrische Verschiebung, damit dies funktioniert, aber dieser Freiheitsgrad hat keinen Einfluss auf das Gaußsche Gesetz.

Maxwell leitete seine Gleichungen ab aus 1) Ladungserhaltungssatz; 2) Coulombsches Gesetz; 3) Bio-Savart-Laplace-Gesetz; 4) Faradaysches Induktionsgesetz. Die gleichung$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\rho(\textbf{r})}{\epsilon_0}$wurde tatsächlich aus dem Coulombschen Gesetz abgeleitet und in seiner differentiellen Form unter Verwendung des Gauß-Ostrogradskiy-Theorems geschrieben. Maxwell ging noch einen Schritt weiter und schlug (postulierte) vor, dass das gleiche Gesetz gilt, wenn$\mathbf{E}$Und$\mathbf{\rho}$sind Funktionen von Raum UND Zeit. Es stellte sich als richtige Vermutung heraus und widerspricht nicht den anderen Gleichungen. In der Tat leitete Maxwell das Gesetz von Bio-Savart--Laplace ab$\nabla\times \vec{H}=\vec{J}$. Wenn Sie die Divergenz beider Seiten dieser Gleichung nehmen, widerspricht dies dem Ladungserhaltungssatz, sodass dieser Gleichung ein zusätzlicher Term hinzugefügt werden muss (der sogenannte Verschiebungsstrom). Und dann widerspricht die resultierende Gleichung nicht der Gleichung, die wir nach dem Differenzieren erhalten$\boldsymbol{\nabla}\cdot \textbf{E}(\textbf{r},t)=\frac{\rho(\textbf{r},t)}{\epsilon_0}$in Bezug auf die Zeit, und tatsächlich ermöglicht uns der Vergleich dieser beiden Gleichungen, den Verschiebungsstrom zu finden.

Nun, ich weiß nicht, ob wir es beweisen können, aber es gibt eine viel elegantere Art, EM zu formulieren, die hier hilfreich sein kann. Wie Sie vielleicht wissen, gibt es bei EM zwei Potentiale: das skalare Potential$\phi$und das Vektorpotential$\vec{A}$, aus denen$\vec{E}(t,x)$Und$\vec{B}(t,x)$abgeleitet sind. Aus diesen beiden Objekten und folgenden Symmetrieüberlegungen kann man einen Tensor konstruieren$F$wird Feldstärketensor genannt (im Grunde ist es ein 4x4-antisymmetrischer Tensor, dessen Komponenten die Einträge sind$\vec{E}$Und$\vec{B}$. Das Interessante ist, dass dieser Tensor eine mathematische Identität erfüllt ($dF=0$), aus der alle vier Maxwell-Gleichungen erhalten werden, und da wir zeitabhängige Felder berücksichtigen, kann dies eine Art "Beweis" für Ihre Frage sein.

Die Divergenz der elektrischen Feldkomponente einer TEM-Welle ist Null (dieses Feld ist nur rotations- und divergenzfrei).

Das Maxwell-Gauß-Gesetz für dynamische Felder sollte gelten. Man kann dies überprüfen, indem man das elektrische Jefimenko-Feld herleitet, siehe Gleichung (10) und anschließend die Divergenz des elektrischen Jefimenko-Felds herleitet, die nachgeben sollte$\frac{\rho(\vec r,t)}{\epsilon_0}$. Dies ist nur eine Theoriekonsistenzprüfung; wichtiger ist der experimentelle Nachweis des Gaußschen Gesetzes für dynamische Felder.