Warum brauchen wir eine zweite Gleichung für das elektrische Feld in der Maxwell-Gleichung?

Ihre Aussage ist innerhalb Ihrer Festlegung von stationären Ladungen und keinen zeitveränderlichen Magnetfeldern korrekt.

Außerhalb der eingeschränkten Fälle, in denen a) keine zeitlich veränderlichen Magnetfelder vorhanden sind und b) das elektrische Feld konservativ ist, dh der Gradient eines skalaren Potentials ist, benötigen wir die Curl-Gleichung

$$\nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B} {\partial t}$$

um die Ergebnisse zusätzlicher Experimente (beginnend mit Faraday) zu erklären, nämlich solche mit elektrischen Feldern, die aus elektromagnetischer Induktion in einem zeitveränderlichen Magnetfeld resultieren.

Dies ist ein elektrostatisches Problem. Das heißt, wie Sie schon sagten

$$\nabla \times{\vec E}=0$$ was der Existenz eines elektrostatischen Potentials entspricht $\Phi(\vec r)$so dass $$\vec E(\vec r)=-\nabla \Phi(\vec r)$$ Diese einfügen in $$\nabla \vec { E } =\frac { \rho }{ {\epsilon }_{ 0 } } \tag{I}$$ Erträge $$\Delta \Phi =-\frac { \rho }{ { \epsilon }_{ 0 } }$$ das ist die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential. Dies hat eine einzigartige Lösung für $\vec E=-\nabla {\Phi}\rightarrow 0$Wenn $\vec { r } \rightarrow \infty$.

Ein anderer Gesichtspunkt ist, dass mathematisch unter Verwendung der Greenschen Funktion der Gleichung (I), die dem Coulombschen Gesetz entspricht, eine Lösung der Gleichung (I) mit der Randbedingung erfolgt$\vec E\rightarrow 0$Wenn$\vec { r } \rightarrow \infty$Ist

$$\vec E(\vec r)= \int {\frac{\rho(\vec r') (\vec r - \vec r')d^3r'}{4 \pi \epsilon_0|\vec r - \vec r'|^3}}$$

Hinweis: Gleichung (I) ist auch als Differentialform des Gaußschen Gesetzes bekannt. Das Gaußsche Gesetz entspricht dem Coulombschen Gesetz. Das Gaußsche Gesetz folgt aus dem Coulombschen Gesetz und umgekehrt.

"... die Frage ist, dass die Divergenzgleichung eine PDE erster Ordnung ist, also sollten wir in der Lage sein, das Feld zu bestimmen, wenn wir genügend Randbedingungen angeben, oder?"

Nicht so. Wie in den Kommentaren erwähnt, geht es bei der Antwort auf diese Frage im Wesentlichen um die Helmholtz-Zerlegung, aber lassen Sie uns tatsächlich teilweise auf einen bestimmten Beweis dieser Zerlegung eingehen, der sehr klar, geometrisch und intuitiv zeigt, was das Problem ist, zumindest für eine große Klasse von Vektoren Felder, nämlich solche mit Fourier-Transformation, wie in meiner Antwort hier besprochen .

Stellen Sie sich die Fourier-Zerlegung eines Vektorfeldes vor$\vec{F}(\vec{k})$, eine Funktion des Wellenvektors der ebenen Welle$\vec{k}$, dh wir zerlegen eine vektorwertige Funktion$\vec{f}(\vec{r})$der Position$\vec{r}$in eine Überlagerung von ebenen Wellenvektorfeldern der Form$\vec{F}(\vec{k})\,\exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$.

Wie sehen nun Divergenz und Curl im Fourier-Raum aus?$\nabla\cdot \vec{f}$hat die Fourier-Transformation$\vec{k}\cdot\vec{F}$Und$\nabla\times \vec{f}$hat die Verwandlung$\vec{k}\times\vec{F}$; das solltest du recht einfach nachweisen können.

Stellen Sie jetzt Ihre Frage in Fourier-Raumbegriffen. Es ist, "warum können wir den Vektor bestimmen$\vec{F}$aus$\vec{k}\cdot\vec{F}$allein?". Es sollte klar sein, dass dies nicht möglich ist; wir müssen die Komponenten von kennen$\vec{F}$die orthogonal zu sind$\vec{k}$und diese lassen sich im wesentlichen unabhängig voneinander zuordnen, da die Divergenz eines Vektorfeldes überall orthogonal dazu ist$\vec{k}$verschwindet.

Allgemein kann man im Fourierraum ein glattes Skalarfeld zuordnen$g(\vec{k})$und ein zweites glattes Vektorfeld$\vec{H}(\vec{k})$das ist überall orthogonal zu$\vec{k}$, aber ansonsten willkürlich. Wie ich in dieser Antwort hier und hier bespreche , die Informationen$g(\vec{k})$Und$\vec{H}(\vec{k})$sind genau die Informationen, um ein Vektorfeld zu bestimmen$\vec{F}$so dass:

$$g(\vec{k}) = \vec{k}\cdot\vec{F}(\vec{k})$$ $$\vec{H}(\vec{k})= \vec{k}\times \vec{F}(\vec{k})$$

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also im Wesentlichen, dass die Divergenzbedingung Ihnen nur die Komponente des Vektorfelds mitteilt, die sich entlang des Wellenvektors befindet. der Solenoidteil , der orthogonal zum Wellenvektor ist, fehlt (er hat keine Divergenz) und kann unabhängig zugewiesen werden.