Warum können wir die 2D-Projektion einer 3D-Gaußschen Oberfläche verwenden, um den elektrischen Fluss zu berechnen?

Um den elektrischen Fluss zu berechnen, der durch eine Seite eines Kegels ohne eingeschlossene Nettoladung fließt, dachte ich ursprünglich, Sie müssten infinitesimale Bereiche nehmen und den Normalenvektor mit dem Feldvektor punktieren und integrieren. Ich habe jedoch festgestellt, dass Sie die 2D-Projektion des Kegels nehmen, die Fläche finden und sie mit dem Feld multiplizieren können, um den Fluss zu erhalten. Allerdings bin ich etwas verwirrt, warum das funktioniert. Die Fläche der 2D-Projektion unterscheidet sich von der Oberfläche einer Hälfte des Kegels, und das Gaußsche Gesetz hat ein Flächenintegral.

Ich habe das Gefühl, dass die Diskrepanz der Fläche dadurch zustande kommt, dass das Skalarprodukt zwischen den Vektoren diesen Unterschied ausgleicht. Hat dies etwas damit zu tun, wie die Vektorprojektion mit dem Skalarprodukt verknüpft ist? Ich bin mit der tiefen Intuition nicht sehr vertraut, aber ich bin neugierig, warum diese Diskrepanz in der Fläche den gleichen Fluss ergibt.

Antworten (2)

Es geht darum, wie "viele" Feldlinien durchlaufen. Diese bestimmen den durchlaufenden Fluss und ändern sich nicht, wenn das Objekt in 3D gezeichnet wird.

  • Es ist, als würde man ein ebenes Drahtgeflecht in einen Wasserstrom legen und die durchströmenden Wasserpartikel zählen.
  • Wenn Sie ein halbkugelförmiges Drahtgeflecht hinlegen, zählen Sie immer noch die gleiche Menge an Partikeln, die zur gleichen Zeit vorbeilaufen. Sie haben nur mehr Fläche pro Partikel.

Auf die gleiche Weise ergibt ein 3D-Objekt eine größere Gesamtfläche, jedoch mit "weniger" Feldlinien pro Fläche. Der entsprechende Querschnitt hat eine kleinere Fläche und "mehr" Linien pro Fläche. Es stellt sich heraus, dass die "Anzahl" der Zeilen gleich ist. Da die Querschnittsfläche einfacher zu berechnen ist, tun dies die Menschen.

und das Gesetz von Gauß hat ein Flächenintegral

Gauß hat eine andere Integration des Skalarprodukts des elektrischen Felds und der Flächen.

Von dem, was Sie geschrieben haben, gehe ich davon aus, dass das elektrische Feld E → ist konstant.

Für ein kleines Flächenelement D A → Sie müssen den elektrischen Fluss durch diesen Bereich auswerten E → ⋅ D A → .

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Auswertung des Skalarprodukts ergibt E D A cos ⁡ θ .
Jetzt werden Sie das aus dem Diagramm sehen D A cos ⁡ θ ist nur die Projektion der Fläche, die im rechten Winkel zum elektrischen Feld steht.
Vorausgesetzt, das elektrische Feld ist konstant, können Sie dieselbe Projektion über eine Oberfläche durchführen und den gesamten elektrischen Fluss auswerten, indem Sie die Größe des elektrischen Felds mit der gesamten projizierten Fläche multiplizieren.

Wenn das elektrische Feld nicht gleichmäßig ist, liegen alle projizierten Bereiche im rechten Winkel zum elektrischen Feld nicht in derselben Ebene.

Warum können wir die 2D-Projektion einer 3D-Gaußschen Oberfläche verwenden, um den elektrischen Fluss zu berechnen?
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