Warum macht die Dichte elektrischer Feldlinien Sinn, wenn durch jeden Punkt eine Feldlinie geht?

Feldlinien beziehen ihre ganze Gültigkeit aus dem Gaußschen Gesetz für das elektrostatische Feld .

Die exakt identische Form dieser beiden Gleichungen bedeutet, dass wir das elektrische Feld fruchtbar als Geschwindigkeit einer fiktiven "Flüssigkeit" interpretieren können, die erhalten bleibt oder nicht, je nachdem, ob Ladungen vorhanden sind. Genauer gesagt können wir eine nützliche Methode zur Beschreibung von Flüssigkeiten einbringen – die Verwendung von Stromliniendiagrammen – um uns zu helfen, elektrische Felder (und tatsächlich magnetostatische und Gravitationsfelder, auf die sich dieser gesamte Beitrag ebenfalls bezieht) zu visualisieren.

Verwenden wir also diese Abbildung: Wir können Ihre Frage abbilden: "Wie und warum funktionieren elektrische Feldliniendiagramme?" in eine entsprechende Frage im dualen Problem:

"Wie und warum funktionieren Stromliniendiagramme?"

Stromliniendiagramme stellen eine endliche Anzahl von Linien dar, die tangential zur Strömung verlaufen$\mathbf{j}=\rho_\text{fluid}\mathbf{v}$an allen Punkten. Das bedeutet, dass ein Partikel, das auf einer Stromlinie beginnt, darauf bleibt, während die Flüssigkeit fließt.

^(Bildquelle)

Der Spaß beginnt, wenn Stromlinien plötzlich näher zusammenrücken. Das bedeutet, dass entweder die Flüssigkeit komprimiert wurde oder dass die Volumeneinheit der Flüssigkeit gedehnt wurde, sodass sie entlang der Stromlinien länger ist (wie z. B. in diesem Diagramm ) und daher die Flüssigkeit schneller fließt. So oder so, die Flüssigkeitsstromdichte$|\mathbf{j}|$steigt.

Dies kann präzisiert werden. Im obigen Bild des Tragflügels wurden beispielsweise die Stromlinien-„Samen“ (die Punkte auf der linken Seite, an denen die Stromlinien beginnen) so gewählt, dass das Fluid pro Zeiteinheit von links in das Bild zwischen zwei benachbarten strömt Stromlinien ist konstant. Da kein Fluid über eine Stromlinie fließt, muss diese Fluidströmungsrate konstant bleiben. Wenn die Stromlinien näher beieinander liegen, ist daher die Fluidströmungsrate pro Flächeneinheit (dh die Stromdichte) größer.

(Darüber hinaus müssen Sie, wenn es Quellen oder Senken gibt, an denen die Flüssigkeit erzeugt oder zerstört wird, möglicherweise einige Stromlinien einführen oder entfernen, da in einer solchen Situation die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsflusses zwischen den ursprünglichen Stromlinien natürlich nicht mehr vorhanden ist konserviert.)

Aus diesem Grund können Sie, wenn Sie eine bildliche Darstellung der Stromlinien einer Flüssigkeitsströmung erhalten, diese verwenden, um eine Annäherung an ihr aktuelles Dichtefeld zu rekonstruieren. Seine Richtung wird durch die Stromlinien vorgegeben, und seine Größe wird durch den Abstand zu den benachbarten Stromlinien bestimmt. Dies ist natürlich nur ungefähr: Sie können versuchen, die Werte zwischen zwei Stromlinien zu interpolieren, aber Ihnen fehlen Informationen. Sie können versuchen, Ihre Annäherung zu verbessern, indem Sie ein feineres Raster nehmen, dh die Durchflussrate verringern, die zum Markieren der nächsten Stromlinie erforderlich ist, und das wird Ihnen eine bessere Genauigkeit geben (aber es wird natürlich immer noch eine Annäherung sein).

Umgekehrt müssen Sie sich zur Erstellung eines Stromliniendiagramms zunächst auf die Durchflussmenge einigen, die bis zur nächsten Stromlinie genommen werden soll. Danach beginnen Sie mit Ihren "offiziellen" Stromlinien an einem Ende des Flusses mit dem entsprechenden Abstand und folgen ihnen bis zum Ende. (Beachten Sie jedoch, dass Sie aufgrund der Erhaltung der Strömungsgeschwindigkeit zwischen benachbarten Stromlinien Ihre Stromlinien auch in der Mitte der Strömung beginnen können, solange Sie sie angemessen platzieren ). Es wird dann eine endliche Anzahl von "offiziellen" Stromlinien geben, sowie eine unendliche Anzahl von potentiellen Stromlinien, die Sie dazwischen ziehen könnten. Es sind natürlich die "offiziellen", die Sie verwenden sollten, wenn Sie die Stromdichte aus dem Diagramm abschätzen.

Sie können dann den Abstand zwischen "offiziellen" Stromlinien verkleinern, wodurch Sie eine genauere Darstellung des Strömungsfelds erhalten. Noch besser, wenn Ihre Stromlinien sehr nah beieinander liegen, beginnt es sinnvoll zu sein, von der lokalen Dichte offizieller Stromlinien zu sprechen. Wenn sich die Flüssigkeit von einer Region in eine andere um die Hälfte verlangsamt und Ihre Stromlinien immer noch sehr nahe beieinander liegen, werden Sie feststellen, dass es in einem bestimmten endlichen und kleinen Bereich, in dem die Flüssigkeit schnell ist, doppelt so viele gibt verglichen mit wo es langsam ist.

In der Grenze, wo man unendlich viele Stromlinien nimmt, die gleichmäßig verteilt sind, bei einer entsprechend verschwindend kleinen Strömungsgeschwindigkeit, dann bekommt man etwas, worüber platonisch geredet wird. Es macht jedoch keinen Sinn, da Sie mit einem endlichen Abstand arbeiten müssen, aber wenn Ihre Abstände sehr klein sind, können Sie sowohl (1) Stromlinien im Wesentlichen durch jeden Punkt haben als auch (2) sinnvoll über die lokale Dichte sprechen von offiziellen Stromlinien, und lassen Sie diese konsistent von einer Region zur anderen ändern, abhängig von der lokalen Stromdichte.

Ein nützliches Werkzeug, um diese Grenze zu visualisieren, ist Paul Falstads 3-D Vector Fields Applet . Zum einen können Sie elektrische Felder als Geschwindigkeitsfelder von fiktiven Teilchen visualisieren, und Sie können mit vielen der standardmäßigen elektrostatischen Konfigurationen dreidimensional herumspielen, aber vor allem können Sie die Feldliniendichte erhöhen und verringern:

Genau so funktioniert es auch in der Elektrostatik. Wenn Sie ein elektrostatisches Feld (oder ein Gravitationsfeld) haben, wählen Sie zunächst eine geeignet kleine Einheit des elektrostatischen Flusses (z$\int_S\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{S}$um Ihre Feldlinien zu trennen. Sobald Sie dies behoben haben, ist das Feldliniendiagramm im Wesentlichen vollständig bestimmt: Beginnend an einem bestimmten Punkt können Sie seine Feldlinie zeichnen, sich dann um eine Flusseinheit nach oben und unten bewegen und diese Feldlinien zeichnen und dies wiederholen, bis Sie habe alle interessierenden Bereiche abgedeckt. Und wenn Sie auf Regionen mit Gebühren treffen, müssen Sie natürlich Ihre Stromliniendichte verringern oder einige neue einführen. Das Gaußsche Gesetz garantiert dann, dass Ihr Diagramm konsistent ist: Wenn Sie Ihre Abstände so wählen, dass die lokale Dichte der Feldlinien die elektrische Feldstärke widerspiegelt$|\mathbf{E}|$über eine gegebene Oberfläche, dann wird es dies über das gesamte Diagramm tun. Deshalb können Sie ein solches Konzept verwenden, und der Grund, warum es wirklich funktioniert.

Ich möchte hier auch einige Gedanken zur Repräsentation niederlegen. Durch das oben skizzierte Verfahren ist es tatsächlich möglich, aus einem Diagramm mit endlich vielen Feldlinien eine Annäherung an das elektrische Feld in einem Gebiet zu rekonstruieren. Somit sind diese beiden Darstellungen desselben dipolaren elektrischen Felds im Wesentlichen äquivalent*:

Nur weil sie dieselben Informationen enthalten, bedeutet das jedoch nicht, dass sie gleichermaßen nützlich sind. Feldliniendiagramme sind sehr nützlich, um eine intuitive Vorstellung davon zu bekommen, in welche Richtung das Feld zeigt und seine relative Stärke in verschiedenen Regionen, aber es ist ein schreckliches Werkzeug, um die Überlagerung zweier Felder abzuschätzen (für die eine Vektorfelddarstellung besser ist). und es schafft mehrere falsche Intuitionen. Am Ende des Tages können wir zwar „die Schwerkraft aus der Felddarstellung erklären, ohne die mathematische Gleichung zu verwenden“, aber der Versuch, dies zu tun, erweist sich als absolut nicht der Mühe wert. Sie sollten die Feldlinien wirklich nur als ein darstellendes Werkzeug betrachten und sich an die Mathematik des Vektorfelds halten, um zu verstehen, „was das Feld wirklich ist“.

Abschließend möchte ich hier ausdrücklich eine Warnung aussprechen . Die Sprache in diesem Beitrag ist in erster Linie für zweidimensionale Situationen geeignet und muss für 3D-Szenarien leicht modifiziert werden. Der Grund dafür ist, dass es in drei Dimensionen keine "nächste Stromlinie" gibt und Sie beim Zeichnen von Feldlinien mit einer angemessenen Punktverteilung mit der richtigen lokalen Dichte in Ihrer "Saat" -Oberfläche beginnen müssen. Die korrekte Verallgemeinerung von 2D-Stromlinien auf 3D ist immer noch Stromlinien und nicht "Stromoberflächen" (die Sie zwar zeichnen können, aber alles wird viel unordentlicher), und dies verkompliziert die Dinge. Trotzdem ist es möglich, dies richtig zu tun, und die Analogie zwischen einer statischen Flüssigkeitsströmung und der Elektrostatik bleibt bestehen.

Tatsächlich kann diese scheinbar harmlose 2D/3D-Trennung die Ursache für viele subtile Fehler sein. Nehmen Sie zum Beispiel diese übliche Darstellung der Feldlinien einer Punktladung aus der doppelten Frage von anupam :

Bei einer Punktladung ist der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Kugel, die auf der Ladung zentriert ist, konstant, was bedeutet, dass das elektrische Feld als sinken muss$1/r^2$. In diesem Bild (oder in jeder 2D-Darstellung, in der Feldlinien nicht verschwinden) verringert sich der Abstand zwischen den Linien jedoch um$1/r$(da die Anzahl der Feldlinien, die einen Kreis kreuzen, konstant ist), was bedeutet, dass die Feldstärke stark überschätzt wird. Dieses Diagramm ist besser geeignet, um das elektrische Feld einer Ladungslinie darzustellen .

Um das Feld anhand eines solchen Diagramms korrekt abzuschätzen, müssen Sie daher mit einem 3D-Diagramm arbeiten, wie es von Paul Falstads Simulator erstellt wurde, der die obigen Grafiken erstellt hat (oder dieses , wenn Sie das Geld haben), oder Sie sollten Arbeiten in 2D-Systemen (dh 3D-Systemen mit Translationssymmetrie).

Diese Art von Fehler tritt jedoch ausschließlich bei einer Feldliniendarstellung auf - Sie würden ihn nicht machen, wenn Sie eine Vektorfelddarstellung verwenden. Sie können sie verwenden, um eine gewisse Intuition aufzubauen, aber hüten Sie sich vor ihren vielen Aufschlüsselungen und ergänzen Sie sie immer mit anderen Möglichkeiten, die Felder zu visualisieren.

^{* Beachten Sie, dass, wenn Sie direkt versuchen, dies in Mathematica zu plotten StreamPlot, ein falscher Plot erzeugt wird, bei dem Feldlinien aus dem Nichts erscheinen; Es ist überraschend schwierig , sowohl in Mathematica als auch anderswo ordentliche Stromliniendiagramme zu erstellen . Verwenden Sie für den Code, der diese erzeugt hat, Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/CMlWz.png "]. Beachten Sie auch, dass ich geschummelt habe, indem ich den Kontrast im Vektorplot etwas reduziert habe, um die Pfeile besser sichtbar zu machen.}

Sie haben völlig Recht, dass die Menge der gefeilten Linien unendlich ist, dennoch ist es in vielen Anwendungen sinnvoll, über die "Dichte der Feldlinien" nachzudenken. Hier ist ein Ansatz, der hoffentlich Klarheit bringt. Denken wir an das elektrische Feld einer einzelnen Ladung. Wir haben uns entschieden, nur zur Veranschaulichung n Linien davon zu zeichnen. In der Figur,$n=8$.

Stellen Sie sich nun eine Kugel mit Radius um die Ladung vor$r_1=1\:\mathrm m$. Wie groß ist die Anzahldichte pro Fläche der von uns gewählten Feldlinie auf dieser Fläche? Offensichtlich

Wie lassen sich diese Zahlendichten vergleichen? Welches ist größer und wie viel größer ist es? Beachten Sie, dass

Wir stellen fest, dass das obige Verhältnis unabhängig von ist$n$Wenn wir uns also entschieden hätten, 10, 100 oder 10 Milliarden Linien zu zeichnen, hätte es keinen Unterschied gemacht. Selbst wenn wir n ins Unendliche nehmen würden, würde sich das Ergebnis immer noch nicht ändern, weil es nicht davon abhängt$n$! Insofern ist es sinnvoll zu sagen, dass die Dichte der Feldlinien abnimmt, auch wenn die Anzahl der Feldlinien unendlich ist.

Es gibt unendlich viele Linien, die wir überall zeichnen können, also können wir uns nicht wirklich einen Bereich mit dichteren Linien vorstellen.

Obwohl es unendlich viele Linien gibt, ist es absolut kein Problem zu sagen, dass eine Dichte größer als eine andere ist. Mathematisch können wir schreiben:

Wir sprechen also nicht von echten Unendlichkeiten, sondern von der Grenze, wo die Zahl der Feldlinien beliebig groß ist. Dies hat die implizite Annahme, dass das Modell umso genauer ist, je größer die Anzahl der Feldlinien ist.

Warum können wir dann noch ein solches Konzept verwenden?

Es gibt eine endliche Anzahl von Wassermolekülen, aber die meisten Wassermodelle gehen davon aus, dass es sich um eine unendlich teilbare kontinuierliche "Flüssigkeit" handelt. Dies ist die umgekehrte Situation, in der wir eine unendliche Anzahl von Zeilen haben, aber eine endlich große Anzahl annehmen und die ungefähr richtige Antwort erhalten können. Je mehr Feldlinien verwendet werden, desto besser ist die Näherung.

Eigentlich läuft alles auf das Gaußsche Gesetz hinaus:

Das heißt, wenn es keine Ladungen gibt, gibt es keine Divergenz des Feldes. Das bedeutet, dass Feldlinien nur kostenpflichtig beginnen und enden können. Das macht diese Visualisierung so nützlich (Sie können Feldlinien nicht einfach irgendwo beginnen und enden), wenn Sie eine Feldlinie zeichnen, muss sie eine Schleife sein oder ihre Enden an Ladungen oder im Unendlichen haben.

Eine weitere nützliche Eigenschaft ist, dass eine Feldlinie ein Ort ist. Das bedeutet, dass jeder Punkt auf der Linie eine bestimmte Bedingung erfüllt. Z.B. eine topografische (Bergsteiger-)Karte gibt es Linien auf der Karte.

Diese Linien stellen Linien gleicher Höhe dar. Wenn Sie also entlang der Linie gehen, werden Sie weder steigen noch fallen. Und wenn Sie senkrecht zu den Linien fahren, steigen Sie in die steilste Richtung. Sie können auch feststellen, wie weit Sie geklettert sind, indem Sie die Anzahl der Linien zählen, die Sie passiert haben.

Wenn jede Linie einen Aufstieg von zehn Metern darstellt und Sie vier davon auf der Karte passieren, haben Sie vierzig Höhenmeter erklommen. Um jedoch genauer zu sein, sollten wir zehnmal so viele Linien haben, die jeweils einen Meter darstellen, oder eine unendliche Anzahl von Linien, die eine unendlich kleine Zunahme der Höhe darstellen. Und wenn ich die letztere Karte mit unendlich vielen Linien verwenden soll, wird dadurch die Vorstellung ungültig, dass einige Hänge steiler sind als andere, da es überall unendliche Linien gibt. Natürlich nicht.

Andere Feldlinien stellen andere nützliche Informationen dar, so wie elektrische Feldlinien die Bewegung einer freien Ladung darstellen, wenn sie auf dieser Linie platziert wäre (wenn keine anderen Kräfte darauf einwirken würden).

Oder Gravitationsfeldlinien, die Linien gleichen Gravitationspotentials darstellen.

Aber eigentlich werden Feldlinien nicht nur in Visualisierungen in Modellen verwendet, da sie qualitativ gut Informationen vermitteln können. Die meisten modernen Modelle sind vollständig mathematisch, da diese von Natur aus quantitativ sind.

Es gibt unendlich viele Linien

Gibt es das wirklich? (Ich weiß es ehrlich gesagt nicht für elektrische Felder, kann jemand einen Link in den Kommentaren hinterlassen, wenn Sie es wissen.)

Für Magnetfelder gibt es jedoch eine endliche Anzahl von Feldlinien in einem gegebenen Raum.

Gaußsches Gesetz angewendet auf Magnetfelder:

Dies besagt dasselbe wie für elektrische Felder, außer dass es keine magnetischen Monopole für den Anfang und das Ende der Linien gibt. IE Magnetfeldlinien müssen geschlossene Schleifen sein.

Ein supraleitendes Quanteninterferenzgerät nutzt dies aus, indem es einzelne Magnetfeldschleifen durch seine supraleitende Schleife einfängt. (Magnetfelder können Supraleiter nicht durchdringen.) In der supraleitenden Schleife ist eine Schwachstelle hergestellt. Durch Interferenz ist es möglich, jeden Durchgang einer einzelnen Feldlinie durch die Schwachstelle zu detektieren. Und da magnetische Feldlinien quantisiert sind, gibt es eine endliche Anzahl einzelner magnetischer Feldlinien.

Ein positiv geladenes Punktobjekt im Raum hat Feldlinien, die von der Ladung nach außen gehen, dies sollte man sich im 3D-Raum vorstellen. Die so erhaltene Figur ist eine Kugel.

Nehmen wir nun an, ich habe eine Kugel mit Radius$r$mit Masse$M$hat ein Volumen$V$hat einen Ausdruck$\frac{4}{3}\pi r^3$.

Die Dichte der Kugel ist$M/V$was hat$1/r^3$Abhängigkeit. Wenn Sie den Radius der Kugel vergrößern, nimmt die Dichte ab.

Ebenso können wir die Geometrie der Feldlinie der Punktladung erklären. Sie wird mit zunehmender Entfernung weniger dicht.

Meine vorherige Antwort ging von dem fraglichen Punkt weg, ich entschuldige mich beim OP und den Lesern.

Eine vollständige Beschreibung der Geometrie aller Feldlinien eines Vektorfeldes reicht aus, um die Richtung des Vektorfeldes überall vollständig anzugeben. Um auch den Betrag darzustellen, wird eine Auswahl von Feldlinien so gezeichnet, dass die Dichte der Feldlinien (Anzahl der Feldlinien pro senkrechter Flächeneinheit) an jedem Ort proportional zum Betrag des Vektorfeldes an diesem Punkt ist.
Quelle : Wikipedia (Feldlinien)

Vereinfacht gesagt beschreibt die Feldliniendichte die Stärke des elektrischen Feldes in einer Entfernung$r$von seiner Quelle/Senke. Es ist eine vergleichende Studie von Feldlinien in unterschiedlichen radialen Abständen, würde uns aber nicht die genaue Feldstärke liefern.

Sie würde uns nicht die genaue Feldstärke liefern, da sie durch die relative Dichte von Feldlinien berechnet wird, die willkürlich gezogen werden und in ihrer Anzahl von 1 bis unendlich variieren können.

Betrachten wir nun die Feldliniendichten in radialen Abständen$r_1$und$r_2$
Lassen$n$Feldlinien werden von der Quelle/Senke des Feldes gezogen

Feldliniendichte im Abstand "$r_1$" wird angegeben als

Feldliniendichte in der Ferne$r_2$ist gegeben als

Vergleich der Feldstärken in den beiden Entfernungen

Es spielt keine Rolle, ob Sie machen$n$unendlich, tendenziell unendlich oder jede andere Zahl als Grenzwerte oder sonst wird es abgeschnitten und wir erhalten eine umgekehrte quadratische Beziehung der Feldliniendichte / -stärke mit dem radialen Abstand, was alles ist, was wir mit dem Feldliniendichtebild zeigen möchten. Deshalb funktioniert dieses Bild mathematisch.
Wenn Sie versuchen, unendliche Linien zu zeichnen , müssen Sie tatsächlich Linien zeichnen$0$Querschnittsfläche, was durch keine bekannte Person/Software möglich ist. Wenn Sie jedoch sehr dünne Linien zeichnen, erhalten Sie eine vollständige Kugel mit hervorstehenden Haaren (eigentlich Stacheln), da der Abstand zwischen diesen Tentrikeln mit zunehmender Dichte umgekehrt zum Quadrat des Radius abnimmt.

Beachten Sie die tatsächliche Feldstärke in jeder Entfernung

Nachtrag:
Wenn Sie mathematisch beobachten müssen$\frac{\infty}{\infty}$dann probiere es so aus$\frac{0}{0}$beide geben undefiniert als Antwort und das wird erwartet, wie Sie sehen können, wenn Sie zeichnen$0$Linien können Sie unmöglich Feldliniendichte definieren, geschweige denn relative Feldliniendichte!

Sie sollten lieber behandeln$\infty$als große Große Zahl, größer als alle möglichen Zahlen und in diesem Fall können Sie die beiden streichen ! Genauso stellen wir einen sehr langen Draht oder ein sehr großes Blatt als unendlich groß dar, da es für unseren Zweck eine RIESIGE Zahl darstellt (Nahbereichsberechnungen).

Wie jemand darauf hingewiesen hat, ist die tatsächliche Verteilung kontinuierlich. Dieses Modell ist genau das. Ein Model. Tatsächliche Unendlichkeiten existieren in der Realität nicht, daher wird ihre Verwendung in einem Modell nur die Nützlichkeit des Modells zerstören. Aber egal ob wir 10 Linien oder 10 Milliarden Linien haben, die Dichte nimmt mit zunehmendem Radius ab. Das Konzept dieses Modells funktioniert also einwandfrei.