Ableitung des Coulombschen Gesetzes aus dem Gaußschen Gesetz

Darüber habe ich in den letzten Tagen nachgedacht. Ich entschuldige mich, wenn meine Erklärung nicht ganz klar ist.

Ich habe schon Ableitungen davon gesehen, aber ich bin immer noch nicht zufrieden.

In den Ableitungen des Coulombschen Gesetzes vom Gaußschen Gesetz, die ich gesehen habe, nehmen wir eine Kugelschale mit Radius R um eine Punktladung und berechnen Sie den elektrischen Fluss durch sie hindurch.

∮ A E → ⋅ D A → = E ⋅ 4 π R 2 = Q ϵ 0 ⇒ E = Q 4 π ϵ 0 R 2

Angenommen wird hier jedoch, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche steht und an jedem Punkt der Kugelschale gleich groß ist. Das Gaußsche Gesetz sagt das zwar nicht explizit aus, aber das Coulombsche Gesetz gibt uns explizit die Größe und Richtung der Kraft zwischen zwei Ladungen (und damit die Richtung des elektrischen Feldes einer einzelnen Ladung) an.

Gehe ich richtig in der Annahme, dass wir neben dem Gaußschen Gesetz auch (als weiteres Gesetz) festhalten müssen, dass das elektrische Feld einer Punktladung radial nach außen (oder innen) zeigt und dass seine Größe nur vom Abstand zum Punkt abhängt Punktladung?

Eine andere Möglichkeit, meine Frage zu formulieren, wäre: Ist dieses "andere Gesetz" irgendwie im Gaußschen Gesetz versteckt?

Ich denke, Ihre allgemeine Frage lautet: Wie kann man wissen, dass eine enthaltene Ladung ein bestimmtes E.-Feld erzeugt?
Nicht wirklich ein Gesetz, sondern eher ein Prinzip: Ihre Ableitung geht implizit davon aus, dass das Feld radialsymmetrisch ist, weil die fragliche Ladungsdichte dies ist. In ähnlicher Weise hätte das Feld eine asymmetrische Symmetrie, wenn Sie das Feld eines unendlich geladenen Drahtes berechnen würden. Es gibt keinen a priori Grund dafür, dass das Feld nicht die gleiche Symmetrie wie die Konfiguration selbst hat. Ich stimme zu, dass dies in gewisser Weise Betrug ist, aber das ist der Luxus, den wir als Physiker gegenüber Mathematikern haben. Da Sie eine Lösung haben, muss diese einzigartig sein, und das ist alles, was wir brauchen.
Ja, es macht 100% Sinn anzunehmen, dass das Feld für eine Punktladung kugelsymmetrisch sein muss. Meine Frage war, ob diese Annahme explizit zum Gaußschen Gesetz hinzugefügt werden muss oder ob sie irgendwie eine Folge des Gaußschen Gesetzes selbst ist.
Für die entgegengesetzte Frage: physical.stackexchange.com/q/38404/2451

Antworten (1)

Sie haben Recht, dass das Gaußsche Gesetz allein nicht verwendet werden kann, um das Coulombsche Gesetz abzuleiten. Stattdessen müssen Sie es mit der Hypothese ergänzen, dass der Raum isotrop ist, aber nicht mehr.

Die Sache liegt wirklich in der Sprache. Sie beginnen mit dem Gaußschen Gesetz und sagen dann "Betrachten Sie eine Punktgebühr ...", ohne wirklich viel darüber zu sagen, was Sie damit meinen. Insbesondere reicht es nicht zu sagen „es ist dieses Ding, das eine Ladung, aber kein Volumen hat“, denn elektrische Punktdipole nehmen ebenfalls kein Volumen ein und sie sind ganz andere Bestien als Punktladungen (und tatsächlich könnte man die beiden kombinieren, um eine Non zu machen -Punktladungsobjekt, das "Ladung, aber Volumen null hat").

Was Sie mit einer Punktladung meinen, ist dann etwas stärker, und Sie meinen insbesondere, dass es sich um ein kugelsymmetrisches Objekt handelt: Es ist sinnlos, von einer "Rotation" einer Punktladung zu sprechen.

Darüber hinaus benötigen Sie die Annahme, dass der Elektromagnetismus selbst ebenfalls rotationssymmetrisch ist: Wenn Sie einen Satz Ladungen drehen, erhalten Sie einen gedrehten Satz Felder. Dies ist nicht im Gaußschen Gesetz enthalten, aber es ist eine durchaus vernünftige Annahme, die hinzugefügt werden kann.

Wenn Sie beides haben, dann folgt das Ergebnis:

  • Das elektrische Feld erzeugt bei R durch eine Punktladung bei R 0 muss mitzeigen R − R 0 , denn wenn Sie die Welt um diese Achse drehen, ändern sich die Ladungen nicht, also können sich die Felder nicht ändern.
  • Das elektrische Feld erzeugt bei R 1 Und R 2 erzeugt durch eine Punktladung bei R 0 , wobei beide Punkte gleich weit entfernt sind | R 1 − R 0 | = | R 2 − R 0 | von der Punktladung, muss gleich groß sein, da beide Punkte durch eine Drehung umeinander in Beziehung stehen R 0 wodurch die Ladungskonfiguration erhalten bleibt.

Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass es nicht nur das Gaußsche Gesetz ist, das Sie dorthin bringt – Sie benötigen die Annahme der Isotropie.

Ableitung des Coulombschen Gesetzes aus dem Gaußschen Gesetz
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