Wie funktioniert das Gaußsche Gesetz mit diesem Ladungsdichteaufbau?

Mein Freund und ich studieren Elektrodynamik im Selbststudium. In Griffiths, Introduction to Electrodynamics (1999) wird das Konzept der Divergenz mathematisch eingeführt und das folgende Vektorfeld gezeichnet.

Vektorfeld-mit-großer-positiver-Divergenz

Griffiths gibt an, dass dieses Vektorfeld "eine große positive Divergenz" hat.

Als wir uns vorzustellen versuchten, welche physikalischen Szenarien dieses Vektorfeld hervorrufen könnten, stellten wir uns eine dünne Schale mit sehr starker negativer Ladung vor, die den Mittelpunkt umgibt. Wir dachten, dies würde eine Anziehungskraft erzeugen, die stärker wird, je näher man sich ihr nähert, genau wie im Diagramm.

Aber wir sind beunruhigt, weil später das Gaußsche Gesetz eingeführt wird:

∇ ⋅ E = ρ ϵ 0

Unsere Fragen :

  • (Weniger wichtig) Was meint Griffiths mit "das Vektorfeld hat eine große positive Divergenz"? Die Divergenz hat doch nur an einem bestimmten Punkt einen Wert? Ich gehe davon aus, dass er meint, dass es in allen Punkten positiv ist, wollte diese Annahme aber ausdrücklich hervorheben.
  • (Noch wichtiger) Wie ist unser „dünne Schale“-Szenario mit dem Gaußschen Gesetz vereinbar? Das Gesetz von Gauß scheint zu besagen, dass, wenn an einem Punkt keine Ladungsdichte vorhanden ist, die Divergenz an diesem Punkt Null sein muss. Aber in unserem Fall gibt es nirgendwo anders als an den Rändern Ladungsdichte. Wieso hat dieses Feld dann eine große positive Divergenz?
Behauptet Griffiths, dass dies ein physikalisches Vektorfeld sein muss, das aus einer statischen Ladungsdichte resultiert? Oder ist dies nur ein Beispiel für ein Vektorfeld mit Divergenz? Nicht jedem Vektorfeld entspricht ein elektrisches Feld, das aus einer statischen Ladungsdichte resultiert.
@AaronStevens Er behauptet nicht, dass dies ein physikalisches Vektorfeld ist, das sich aus der statischen Ladungsdichte ergibt. Aber angenommen, wir hätten den beschriebenen Aufbau – würde er nicht dieses Feld erzeugen, und was würde das für das Gaußsche Gesetz bedeuten?

Antworten (2)

Da wir nicht wissen, was das Feld tatsächlich ist, lassen Sie uns eines erfinden. Nehmen wir an, das Feld ist radialsymmetrisch (hängt nur ab von R , der Abstand vom Zentrum), und nehmen wir an, es wächst linear mit R (Es sieht so aus, als würde hier Folgendes passieren. Die äußeren Vektoren sind etwa dreimal so weit vom Zentrum entfernt wie die inneren Vektoren, und sie scheinen etwa dreimal so lang zu sein).

Dann

E → = E 0 R R ^

Und so

∇ ⋅ E → = 1 R 2 ∂ ( R 2 E R ) ∂ R = 3 E 0 = ρ ϵ 0

Deshalb

ρ = 3 ϵ 0 E 0

Eine konstante Ladungsdichte im Raum könnte also dieses elektrische Feld ergeben, und die Divergenz des Feldes ist im gesamten Raum konstant.

Beachten Sie, dass wir uns keine Ladungsdichte vorstellen mussten, sobald wir das Feld hatten. Das Gaußsche Gesetz sagt uns, was die Ladungsdichte ist.

Aus einem Kommentar

Würde unser Aufbau (keine Ladung außer an den Rändern) auch dieses Feld ergeben, und wenn ja, wie passt das zum Gesetz von Gauß?

Das Feld innerhalb einer Ladungshülle ist 0 . Dies lässt sich leicht anhand der Integralform des Gaußschen Gesetzes erkennen. Das Verfahren findet sich in vielen einführenden Lehrbüchern der Physik.

Danke Aaron! Aber ich bin immer noch verwirrt - würde unser Aufbau (keine Ladung überall außer an den Rändern) auch dieses Feld ergeben, und wenn ja, wie passt das zum Gesetz von Gauß?
@EliRose siehe meine Bearbeitung.

Ich konnte nicht viel über das Thema Divergenz verstehen, aber ich konnte etwas über das Gaußsche Gesetz verstehen.

Hier ist, was ich gelernt habe, das Gaußsche Gesetz in der Elektrostatik sagt uns die Anzahl der Feldlinien (natürlich elektrisch), die qualitativ durch eine bestimmte Oberfläche verlaufen.

Die mathematische Gleichung sagt uns eigentlich, welche Ladung für solche Effekte verantwortlich ist

∮ E → ⋅ D S →

Wobei dS der kleine Flächenvektor ist, von dem das elektrische Feld ausgeht.

Erinnern Sie sich nun an das Coulombsche Gesetz der elektrischen Kraft, aus dem wir das elektrische Feld im Abstand r aufgrund einer Punktladung as ableiten

E = Q 4 π ϵ Ö R 2

Um sich nun die Feldlinien aufgrund positiver Ladung vorzustellen, unter der Annahme, dass E und r in die gleiche Richtung weisen und davon ausgehen, dass dS unabhängig von r ist (vage?).

∫ E ⋅ D S = Q ϵ Ö ∫ Q 4 π ε Ö R 2 . D S = Q ϵ Ö ∫ D S = 4 π R 2

Merk dir das?? Das heißt, Sie erhalten ein gleiches elektrisches Feldmuster, das ein kugelförmiges Feldmuster hat.

Bei einer positiven Punktladung bewegen sich also alle Feldlinien radial nach außen.

Aber im Diagramm wird das Feld stärker, je weiter weg von der Mitte.
@AaronStevens Die Feldstärke wird dadurch beschrieben, dass die gesamten Feldlinien durch einen Bereich gehen. Wenn Sie also diesen Bereich (während des gesamten Vorgangs konstant) von sehr nahe an der Ladung ziehen, um sich zu entfernen, ist klar, dass Feldlinien durch die gehen Fläche nehmen ab. Übrigens, wie hast du mein LATEX korrigiert?
Ich habe Ihre Einrückungen herausgenommen, die dafür vorgesehen sind, wenn Sie Code anzeigen möchten. Und ich verstehe, was Sie über die Feldliniendichte sagen, aber das sind keine Feldlinien, sie zeigen die tatsächlichen Vektoren.
Ah! Das bedeutet es, keine Sorge, ich werde meine Antwort bald löschen, wenn Sie so denken.
Wie funktioniert das Gaußsche Gesetz mit diesem Ladungsdichteaufbau?
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