Warum ist das elektrische Feld einer unendlichen Platte an allen Punkten konstant?

Ich denke, der beste Weg, diese Frage zu beantworten, ist, die Mathematik und Physik tatsächlich zu tun. Von den ersten Prinzipien und nicht von irgendeiner Abkürzung.

Aus dem Colouubschen Gesetz und der Definition des elektrischen Feldes:

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Betrachten Sie zuerst einen unendlichen Draht der Veränderung (wir werden das Blatt später bauen). Zunächst weisen wir dem gesamten Draht eine Ladungsdichte zu:$\lambda$. Wo$\lambda = \frac{dq}{d\ell}$.

Die Differentialform der elektrischen Feldgleichung kann dann wie folgt angegeben werden (unter Verwendung der Notation aus dem Bild):

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{\mathbf{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{r^2} d\ell \;\hat{\mathbf{r}}$$

Nun, aus dem Bild sollte es ein bisschen klar sein, dass die elektrischen Feldkomponenten vom Draht in der "oben nach unten" ($\hat{\mathbf{y}}$) Richtung heben sich gegenseitig auf, unabhängig vom Wert von$R$Und$\ell$. Betrachten wir deshalb nur das elektrische Feld in der$\hat{\mathbf{x}}$Richtung.

An der Geometrie erkennen wir folgendes:

$$r = \sqrt{\ell^2 + R^2} = \frac{R}{\cos \theta}$$ $$d\ell = R d\theta$$ $$\hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$$

Deshalb:

$$d\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \cos^2 \theta}{R^2} \frac{R}{\cos \theta} d\theta \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}}$$

Jetzt wollen wir das gesamte elektrische Feld aus der gesamten Länge des Drahtes finden. Wir wollen also über den gesamten Draht integrieren. Dies bedeutet, dass über den Winkel von integriert wird$\theta$:$-\frac{\pi}{2} \rightarrow \theta \rightarrow \frac{\pi}{2}$. Deshalb:

$$\vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda}{R} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{x}}$$

Beachten Sie, dass bei einem unendlichen Draht das elektrische Feld von Ihrer Entfernung zum Draht abhängt.

Wir wollen jedoch das Blatt. Wir können ein Charage-Blatt konstruieren, indem wir viele Drähte in einer Reihe parallel zueinander ausrichten. Angenommen, wir verwenden immer noch das Bild und stapeln sie entlang der$\hat{\mathbf{z}}$Achse. Es sollte klar sein, dass, wie die$\hat{\mathbf{y}}$Komponente des elektrischen Feldes hebt sich auf, wenn der Draht entlang dieser Achse verläuft, das Blech hebt auch die Beiträge auf$\hat{\mathbf{z}}$.

Wir weisen die Entfernung, die der fragliche Punkt vom Blatt entfernt ist, neu zu$D$, als$R$befindet sich nun zwischen dem Punkt und einem der Drähte (ein Abstand$z$ab dem Punkt auf dem Blatt über dem betreffenden Punkt) im gesamten Blatt. Das bedeutet, dass$R$ist jetzt verwandt, gegeben durch:

$$R = \sqrt{D^2 + z^2} = \frac{D}{\cos \phi}$$

Wo$\phi$ist der Winkel zwischen den Linien$R$Und$D$, ähnlich wie$\theta$ist der Winkel für das Bild ungefähr (einfach auf 3D extrapolieren). Außerdem ist die Oberflächenladung des Blechs nun gegeben durch:

$$\lambda = \sigma dz = \sigma D d\phi$$

$$\hat{\mathbf{r'}} = \cos \phi \; \hat{\mathbf{x}}$$

Beachten Sie, dass die zweite Gleichung zunächst nicht viel Sinn ergibt; es ist jedoch unserer vorherigen Transformation ähnlich ($\hat{\mathbf{x}} = \cos \theta \; \hat{\mathbf{r}}$), außer dass die Richtung ein neuer Offset von ist$\hat{\mathbf{r'}}$.

Wenn wir die Antwort für das elektrische Feld über eine Ladungsleitung nehmen und in eine differentielle Form bringen:

$$d\vec{E_{r'}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda}{R} \;\hat{\mathbf{r'}}$$

Ersetzen:

$$d\vec{E_x} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2 \sigma D }{D} \frac{\cos \phi}{\cos \phi} d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$

Schließlich integrieren wir wieder wie beim Draht über das gesamte Blatt:$-\frac{\pi}{2} \rightarrow \phi \rightarrow \frac{\pi}{2}$

$$\vec{E_x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \;\hat{\mathbf{x}}$$ $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( 2 \sigma \right) \left( \pi \right) = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$$

Wie Sie sehen können, fiel aufgrund der Geometrie des unendlichen Blattes die Abhängigkeit vom Abstand vom Blatt aus der Gleichung heraus (größtenteils ohne Annäherungen). Bei der Berechnung nach den ersten Prinzipien haben wir eine Gleichung für das elektrische Feld über eine unendliche Platte erhalten, die man normalerweise in einem Lehrbuch finden würde.

Wenn Ihre Frage nach dem tatsächlichen Grund gestellt wurde (und nicht, wie wir es wissen), ist diese gesamte Ableitung eine Folge des Coulomb-Gesetzes. Zu fragen, warum das Coulombsche Gesetz so ist, wie es ist, liegt außerhalb des Rahmens dieser Antwort (und der Physik?).

Hier ist eine schnelle Möglichkeit, darüber nachzudenken.

Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich im Abstand R von der Platte, und Sie kennen die Kraft von einem Kreis auf der Platte mit dem Radius R. Die Fläche des Kreises ist Pi R^2.

Bewegen Sie sich jetzt doppelt so weit. Die Kraft jeder Punktladung wird durch das umgekehrte Quadratgesetz von 1/R^2 auf 1/4R^2 reduziert. Die Fläche eines Kreises mit Radius 2R ist 4 Pi R^2.

Durch die Geometrie bleibt die Gesamtkraft gleich. Jede Änderung aufgrund des Abstandsquadratgesetzes wird durch die gleiche Änderung aufgrund der vergrößerten Fläche der homologen Struktur ausgeglichen.

Das Feld wird schwächer, je weiter man sich von einer Punktladung entfernt, da sich die Feldlinien ausbreiten können.

Die Feldlinien einer unendlichen Ebene können sich niemals ausbreiten; Sie laufen einfach für immer parallel zueinander. Die Feldstärke ist also konstant.

Es wird viel einfacher sein, wenn Sie das Gaußsche Gesetz verwenden, um es mit nur wenigen Zeilen zu beweisen, als diese komplizierte Art der mathematischen Manipulation

Zeichnung n eingeschlossene zylindrische Gaußsche Fläche mit 2 Endkappenflächen A, die so angeordnet sind, dass sie die unendliche Schicht von Ladungen senkrecht durchdringen. Da die eklektrischen Feldlinien senkrecht zur Ladungsschicht verlaufen und die Gaußsche Mantelfläche des eingeschlossenen Zylinders ebenfalls senkrecht zur Ladungsschicht steht, müssen die elektrischen Feldlinien auch senkrecht zu den 2 Kappenendflächen A sein, dh das elektrische Feld Vektor E und der Differenzflächenvektor der Differenzfläche delta A sind parallel und zeigen in die gleiche x-Richtung. Das tge dit-Produkt E dA kann also ausgedrückt werden als ( Ei) (dAi) EdA i*i=EdA(1) = EdA Nun du Setzen Sie einfach das Ergebnis in die Gleichung des Gauß'schen Gesetzes für eine Ladung in einer eingeschlossenen Oberfläche ein und nehmen Sie das Integral davon wie folgt: Sei Eo die Permittivitätskonstante

Eo-Integral von EdA= EoE-Integral dA = Qenc
wobei Qenc die Ladung auf der Ladungsschicht ist, die von der durchdringenden zylindrischen Gaußschen Oberfläche eingeschlossen wird = aA, wobei a die Ladungsdichte und A die Oberfläche ist

Da dA =A ----> ist das Integralergebnis EoEA= Qenc Da es 2 Flächen A gibt, EoE (A+A) Qenc= aA ----> E = aA/2AEo

E = a/2Eo. Da es in der Gleichung für die Größe des elektrischen Felds keine Variable gibt, die den Abstand r darstellt, ist die Größe des elektrischen Felds der unendlichen Ladungsschicht unabhängig von der Dustance zwischen der Ladungsschicht und jedem Punkt im elektrischen Feld und beiden a und Eo sind konstant , also E = konstant an allen Punkten im elektrischen Feld

Stellen Sie sich eine negativ geladene Platte und ein Elektron in geringem Abstand dazu vor.

Die Platte stößt die Ladung ab. Die Elektronen in der Platte, die dem freien Elektron am nächsten sind, schieben in senkrechter Richtung und auch am meisten, weil sie näher sind als alle anderen Elektronen in der Platte.

Die anderen Ladungen sind weiter entfernt und drängen weniger und auch meist seitwärts. Aufgrund der Symmetrie bleiben nur die Komponenten senkrecht zur Platte übrig. Für jede Ladung auf einer Seite des Elektrons gibt es eine andere Ladung auf der gegenüberliegenden Seite.

Wenn Sie das Elektron von der Platte wegbewegen, erhöht sich die Menge der Ladungen, die weniger seitlich drücken (mehr Ladung der Platte befindet sich "unter" dem Elektron), um genau die richtige Menge, um den größeren Abstand auszugleichen.