Kugelförmige geladene Schalen mit Erdung

Betrachten Sie zwei konzentrische Kugelschalen mit Radien A Und 2 A bzw. Lassen Sie die innere Hülle Potenzial haben v 0 und die Außenhülle geerdet sein. Was ist das Potenzial v ( R ) in Abhängigkeit vom Abstand zum Mittelpunkt der Schalen, und wie groß sind die Ladungen auf den Schalen?

So würde ich das Problem angehen. Lassen Q ich Und Q Ö sei die Ladung auf der inneren bzw. äußeren Hülle. Setzen

v ( R ) = − ∫ 2 A R E → ( R ' ) ⋅ D R ^ ' .

Seit E ( R ) = 0 für R < A ,

E ( R ) = Q ich / ( 4 π ϵ 0 R 2 ) für A < R < 2 A

E ( R ) = ( Q ich + Q Ö ) / ( 4 π ϵ 0 R 2 ) , das gibt uns

v ( R ) = Q ich / ( 8 π ϵ 0 A ) für R < A , v ( R ) = Q ich ( 2 A / R − 1 ) / ( 8 π ϵ 0 A ) für A < R < 2 A

v ( R ) = ( Q ich + Q Ö ) ( 2 A / R − 1 ) / ( 8 π ϵ 0 A ) für 2 A < R .

Jetzt das verlangen v ( A ) = v 0 , wir bekommen Q ich = 8 π ϵ 0 A v 0 . Aber was ist mit Q Ö ? Aus der Form des Potentials erhalten wir sofort v ( 2 A ) = 0 , unabhängig vom Wert von Q Ö .

In der Antwort auf das Problem heißt es Q Ö = − Q ich . Es wird auch direkt darauf hingewiesen v ( R ) = 0 für R > 2 A , aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht, warum dies aus der Annahme folgt, dass die äußere Hülle geerdet ist.

Beruht alles auf der impliziten Annahme, dass v ( ∞ ) = 0 , was meine Definition von macht v ( R ) falsch? Sicherlich müssen wir diese Annahme nicht treffen?

Antworten (2)

Wenn die Außenhülle geerdet ist, gießen Sie eine Ladung ein + Q ich auf der Außenseite der Innenschale dann eine Ladung von − Q ich wird auf der Innenseite der Außenschale induziert.
Betrachten Sie es als kein elektrisches Feld innerhalb eines Leiters, also muss jede elektrische Feldlinie, die auf einer Ladung auf der Außenfläche der inneren Kugel beginnt, auf einer entgegengesetzten Ladung auf der Innenfläche der äußeren Kugel enden.

Es gibt also nur ein elektrisches Feld zwischen der inneren und der äußeren Hülle und somit ist dies der einzige Bereich, in dem sich das elektrische Potential ändert.

Wenn Erde als Potentialnull angenommen wird, was oft der Fall ist, dann muss auch die Außenhülle auf Nullpotential liegen, wenn sie mit Erde verbunden ist.

Wenn Sie an das Gaußsche Gesetz denken und eine sphärische Gaußsche Oberfläche betrachten, die im Zentrum der Kugelschalen zentriert ist, dann wenn A ≤ R ≤ 2 A die von der Oberfläche eingeschlossene Ladung ist + Q ich .
Sobald du hast R > 2 A die eingeschlossene Ladung ist Null, + Q ich − Q ich = 0 und so ist das elektrische Feld außerhalb der äußeren Sphäre Null.

R > 2 A Dann E = 0 Und v = 0

A ≤ R ≤ 2 A Dann E = 1 4 π ϵ Ö Q ich R 2 Und v = 1 4 π ϵ Ö Q ich R

R < A Dann E = 0 Und v = 1 4 π ϵ Ö Q ich A

Danke! Aber was ist, wenn wir den Wortlaut des Problems ein wenig ändern. Anstatt zu sagen, dass die äußere Hülle geerdet ist, sagen wir, dass ihr Potenzial Null ist. Außerdem müssen wir nicht davon ausgehen, dass die Schalen Metallbleche sind. Sagen wir einfach, wir haben zwei Ladungsverteilungen, die auf zwei Kugelschalen lokalisiert sind?
Wenn die Außenhülle nicht geerdet ist, wird eine Gebühr von erhoben − Q ich auf der Innenfläche der Außenhülle und einer Ladung von + Q ich auf der Außenfläche der Außenhülle.
Die Außenhülle hätte also keine Nettoladung? Dann hätten wir das nicht v ( 2 A ) = 0 ?
Relativ zur Erde (Null des Potentials) hätte die äußere Sphäre ein Nicht-Null-Potential, da Arbeit geleistet werden müsste, um Ladung vom Boden zur äußeren Sphäre zu bewegen.
Sorry für meine späte Antwort. Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Sicherlich wäre es möglich, eine Kugelschale mit Ladung zu haben Q ich umgeben von einer ungeerdeten Kugelschale mit Ladung − Q ich . Dann wäre das Potential auf und außerhalb der Außenhülle Null. Richtig? Was ist dann der Unterschied zwischen der Aussage, dass die Schale geerdet ist, und der Aussage, dass ihr Potenzial Null ist?
Sie können den Potentialnullpunkt wählen, wo immer Sie wollen.
Mein Punkt war, dass wir eine Granate mit Ladung haben Q ich umgeben von einer Schale mit Ladung − Q ich , dann wählen sogar wir v ( ∞ ) = 0 , ist das Potential an der Außenhülle Null, auch wenn es nicht geerdet ist. Richtig? Ich versuche zu verstehen, was die Erdung bewirkt.
Die Erdung stellt eine Referenz her, die sich im Potential nicht ändert. Jede zusätzliche Addition oder Subtraktion von Ladung zu der isolierten Außenhülle ändert ihr Potential. Dies würde nicht passieren, wenn die Außenhülle geerdet ist.
Tut mir leid, dass ich so stur bin. Aber bei diesem speziellen Problem würden wir das gleiche Potential und die gleichen Ladungen auf den Hüllen erhalten, unabhängig davon, ob wir sagen, dass die äußere Hülle geerdet ist oder ob ihr Potential einfach null ist. Richtig?
Wenn die Außenwelt keine Ladungen auf der Außenfläche der Außenhülle sieht, muss keine Arbeit geleistet werden. Ich bewege die Ladung in Richtung der Außenhülle, sodass der Beginn der Ladung das gleiche Potenzial wie die Außenhülle hat.

Ihre Definition des Feldes für R > 2 A ist richtig. Aber für Q ich = − Q 0 das Feld ist Null. Die auf der inneren Oberfläche der geerdeten äußeren Kugel induzierte Ladung muss nach dem Gaußschen Gesetz sein − Q ich = Q 0 (es gibt kein Feld im Metall). Da die äußere Kugel auf Erdpotential liegt, kann es außerdem kein Feld außerhalb der Kugel geben (keine induzierten äußeren Oberflächenladungen), da keine Potentialdifferenz zur Umgebung besteht.

Danke! Aber was ist, wenn wir den Wortlaut des Problems ein wenig ändern. Anstatt zu sagen, dass die äußere Hülle geerdet ist, sagen wir, dass ihr Potenzial Null ist. Außerdem müssen wir nicht davon ausgehen, dass die Schalen Metallbleche sind. Sagen wir einfach, wir haben zwei Ladungsverteilungen, die auf zwei Kugelschalen lokalisiert sind?
@Etienne Bezout - Wenn Sie davon ausgehen, dass das Potential der äußeren Schale Null ist, stellt sich die Frage, ob Sie auch wie üblich davon ausgehen, dass das äußere Potential für Null ist R − > ich N F ich N ich T j . Wenn dies der Fall ist, dann gibt es kein äußeres Feld wie in der geerdeten Situation. Wenn Sie zwei (unterschiedliche) unbewegliche Ladungen annehmen, die gleichmäßig auf konzentrischen Kugeln lokalisiert sind, haben Sie im Allgemeinen ein äußeres Feld, und Sie können es mit dem Gaußschen Gesetz bestimmen.
Okay, dann denke ich, dass daraus geschlossen werden kann, dass meine Definition des Potenzials falsch ist, weil implizit davon ausgegangen wird, dass wir festgelegt haben v ( ∞ ) = 0 , und die Werte v ( A ) = v 0 , v ( 2 A ) = 0 ruhen auf dieser Annahme.
Kugelförmige geladene Schalen mit Erdung
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