Elektrisches Feld eines gleichförmig geladenen Tetraeders

Wie berechnet man das elektrische Feld eines beliebigen Tetraeders mit gleichmäßiger Ladungsdichte an einem beliebigen Punkt?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich habe:

  • 4 Tetraederecken
  • Gesamtladung in Coulomb
  • Punkt, an dem ich den E-Feldvektor berechnen möchte

Der Punkt kann außerhalb oder innerhalb des Tetraeders liegen. Die Ladungsdichte ist über das Tetraedervolumen (nicht die Oberfläche!) gleichmäßig.

BEARBEITEN

Das ist keine Hausaufgabe. Ich schreibe ein Simulationsprogramm, um elektrische Felder um und in einem Objekt zu simulieren, das durch sein 3D-Netz definiert ist. Das zu berechnende Feld umfasst alle Protonen in einem Objekt. Es wird angenommen, dass sie gleichmäßig über das gesamte Volumen verteilt sind. Stellen Sie sich das Protonenfeld nur so vor, als ob Sie alle Valenzelektronen aus dem Metall entfernen würden, sodass jedes Atom eine Ladung von +1e hätte. Ich dachte darüber nach, das Netz in kleinere Stücke (Tetraeder) zu unterteilen und jedes Tetraederfeld an einem bestimmten Punkt hinzuzufügen.

BEARBEITEN 2

Ich habe eine Lösung für den Innenfeldteil gefunden, wenn die Außenfeldgleichung bekannt ist. Die Idee ist, zu prüfen, ob der Punkt, an dem wir das Feld berechnen wollen, innerhalb des Tetraeders liegt. Wenn dies nicht der Fall ist, berechnen wir das Feld regelmäßig. Wenn es sich darin befindet, wählen wir eine Ebene, die die Kante eines Tetraeders (oder zwei beliebige Eckpunkte) und diesen Punkt enthält. Diese Ebene teilt den Tetraeder in zwei kleinere. Wir berechnen und addieren dann Felder von beiden. In diesem Fall kann davon ausgegangen werden, dass sich der Punkt außerhalb jedes kleineren Tetraeders befindet oder auf deren Oberflächen liegt.

Das hört sich nach einem fiesen Problem an. Die Positionen der Scheitelpunkte sind willkürlich? Der Beobachtungspunkt ist beliebig? Es könnte ein wenig hilfreich sein zu wissen, warum Sie dies berechnen möchten.
Die Antwort, an die ich denke, beinhaltet ein dreifaches Integral. Mit Integrationsvariablen innerhalb einer Quadratwurzel. Und die Grenzen sind auch nicht so groß. Ich habe gerade keine Lust, es zu lösen, sorry.
Für den Außenbereich können Sie eine Multipolerweiterung durchführen. Wenn Sie für ausreichende Ordnung sorgen (Oktopol und darüber hinaus), können Sie eine gute Annäherung erzielen, sogar überraschend nahe an der Ladung.

Antworten (1)

Danke für die Bearbeitung. Jetzt, da wir wissen, dass Sie dies zahlenmäßig tun, ändert sich die Situation.

Dein Ansatz ist in Ordnung. Unterteilen Sie das Tetraeder in kleine Volumenelemente, berechnen Sie das Feld für jedes Element und addieren Sie es vektoriell. Es besteht jedoch keine Notwendigkeit, Unterteilungen vorzunehmen, und es müssen keine winzigen Tetraeder sein. Stattdessen kann man im Volumen des Tetraeders ein dreidimensionales Würfelgitter durchqueren. Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, das wäre viel einfacher, als zu versuchen, das Tetraeder in kleinere zu dezimieren, es sei denn, Sie haben bereits Code, der dies tut.

Beginnen Sie mit einem relativ groben Gitter. Verfeinern Sie es dann, sagen wir, um den Faktor zwei, und vergleichen Sie das Feld, das durch diese beiden Berechnungen erzeugt wird. Wenn Ihr Raster wirklich grob war, sollten die beiden Antworten unangenehm unterschiedlich sein. Fahren Sie fort, das Gitter im Vergleich zum vorherigen Gitter jedes Mal feiner und feiner zu machen. Wenn sich das resultierende Gitter nicht mehr innerhalb einer tolerierbaren Abweichung ändert, hören Sie auf. Ihr Gitter ist fein genug; es wird keinen weiteren Gewinn geben, wenn Sie fortfahren, aber die Rechenzeit würde steigen.

Vielen Dank für die Antwort, aber ich denke, es wird nicht für eine Simulation in nahezu Echtzeit geeignet sein. Ein weiteres Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass dem Gitter scharfe Ecken oder Spitzen entgehen, es sei denn, wir machen es sehr fein. Ich habe eine Lösung für Liniensegmente gefunden ( Physicstasks.eu/659/charged-line-segment ) und ich denke, es ist möglich, Lösungen für endliche Oberflächen und endliche Volumen wie Tetraeder abzuleiten, auch wenn dies eine komplexe Aufgabe sein wird. Ich weiß einfach nicht, wie ich anfangen soll oder wo ich suchen soll.
Eine Lösung in geschlossener Form, die wahrscheinlich das ist, was Sie für Geschwindigkeit brauchen, wird schwierig zu finden sein. Der allgemeine Fall erlaubt keine Verwendung vereinfachender Symmetrien und Annäherungen. Eine andere Möglichkeit könnte darin bestehen, die Integrale aufzustellen und schnell konvergierende Reihenausdrücke für die Integrale zu finden. Dies könnte schwieriger sein, als geschlossene Lösungen zu finden. Die Idee von (@AHusain ist ungefähr so; bedenke es ernsthaft). Sie könnten versuchen, das vollständige Integral aufzustellen und in einer guten Integraltabelle nach Ideen suchen. Oder versuchen Sie es mit einem CAS (Computer Algebra System). Klingt nach einem schwierigen Problem.
Danke. Ich habe noch eine Idee. Ist es möglich, elektrische Potentiale an jedem Scheitelpunkt zu berechnen und daraus dann das Feld abzuleiten? Zumindest werde ich in der Lage sein, sie vorzuberechnen, weil Scheitelpunkte fest sind.
Ja, aber ich verstehe noch nicht, was du vorhast. Sie haben das Potenzial an jedem der vier Scheitelpunkte. Was werden Sie mit diesen Informationen tun?
Ich weiß, dass es möglich ist, den E-Feldvektor an jedem Punkt nur mit gegebenen Potentialen zu berechnen. Die Frage ist, ob diese Potenziale ein gutes Ergebnis liefern.
Ja, aber Sie brauchen das Potenzial an jedem Punkt im Raum, nicht nur an den Scheitelpunkten.
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