Elektrisches Feld aufgrund einer geladenen Kugel

Ehrlich gesagt habe ich das alles erst in den letzten Monaten selbst erfahren, daher bin ich mir nicht sicher, ob das wirklich stimmt.

Da Sie diese sphärische Symmetrie haben, denke ich, dass Sie sphärische Harmonische brauchen. Sie sind orthogonale Funktionen, stellen Sie sie sich als Fourier-Reihe auf der Oberfläche einer Kugel vor.

Ihre Ladungsdichte$\sigma$hängt nicht davon ab$\phi$, daher können wir die einfacheren Legendre-Polynome verwenden, wo$m = 0$. Zunächst wollen wir das Potenzial so ausdrücken:

$$\varphi(\vec x) = \frac1{\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{2l+1} \varrho_{l} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{l,0} (\theta, \phi)$$

Die Koeffizienten$\varrho_l$werden gegeben von:

$$\varrho_l = \int \mathrm d^3 x'\, r'^l \varrho(\vec x) Y^*_{l,0} (\theta', \phi')$$

Jetzt mit

$$Y^*_{l,0}(\theta', \phi') = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} P_l(\cos \theta')$$ Und $$P_0(x) = 1 ,\quad P_1(x) = x$$ Wir können die Koeffizienten berechnen.

Aber zuerst müssen wir die Oberflächenladungsdichte umrechnen$\sigma$in eine Volumenladungsdichte. Dafür verwenden wir die$\delta$-Verteilung:

$$\varrho(\vec x) = \delta(r-R) \sigma_0 \cos(\theta)$$

Wenn Sie diese in die stecken$\varrho_l$, Sie erhalten$\varrho_0 = 0$Und$\varrho_1 = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \sigma_0$. Ich hoffe, das ist richtig.

Dann können wir dies in die erste Formel einsetzen und erhalten$\varphi$:

$$\varphi(\vec x) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \frac{1}{r^2} \sigma_0 \cos \theta$$

Da es sich um ein reines Dipolpotential handelt, ist die$1/r^2$scheint ungefähr richtig zu sein. Und wenn man sich die Maße anschaut, die$R^3 \sigma_0 / r^2$nur die benötigte Ladung/Länge haben.

Sphärische Obertöne könnten übertrieben sein, vielleicht gibt es eine einfachere Methode, dies zu tun.