Potential aufgrund eines geladenen Rings: Diskontinuität des elektrischen Felds

Ich habe gerade mit meinem dritten Jahr des Vorkurses in Elektrodynamik begonnen. Ein Standardproblem in der Elektrostatik, auf das man immer wieder stoßen kann, ist das Finden des Potentials aufgrund eines gleichmäßig geladenen Rings mit Radius a und Gesamtladung q am Punkt P (r, θ) , wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

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$$\\ $$ Lösen der Laplace-Gleichung $\vec \nabla^2V(r, \theta) = 0$für dieses Problem ergibt
$$V(r, θ) = \begin{cases} \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{a^l}{r^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r > a \\ \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{r^l}{a^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r < a \\ \end{cases}$$ Wo $P_l(x)$sind die Legendre-Polynome der Ordnung $l$gegeben von: $$P_l(x) = \frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$$ Da das System Azimutsymmetrie hat, besteht keine Abhängigkeit von $\phi$. Nun entsteht kein Problem mit der Kontinuität von $V(r, \theta)$bei $r = a$, aber es gibt eine Diskrepanz, wenn wir die linke und die rechte radiale Ableitung von betrachten $V(r, \theta)$bei $r = a$. Daher die Kontinuität in der radialen Komponente $E_r = -\frac{\partial{V}}{\partial{R}}$des elektrischen Feldes geht auf der Kugel verloren $r = a$. Aber auch hier sollte jede Diskontinuität im elektrischen Feld im Allgemeinen nur auf eine Oberflächenladungsdichte zurückzuführen sein, und es liegt keine Ladung vor $r = a$Wenn $\theta \neq \pi/2$. Was sollte die plausible physikalische Erklärung dafür sein? Vielen Dank im Voraus!