Kraft auf eine Punktladung qqq in einem Hohlraum in einem ungeladenen Leiter

Nein, Ihre Argumentation ist falsch, denn es gibt keinen Grund für die Streitkräfte, generell abzusagen. Tatsächlich wird die Ladung im Allgemeinen durch das Feld der induzierten entgegengesetzten Ladung auf der Innenfläche des Leiters angezogen . Dies ist leicht anhand der Tatsache zu sehen, dass$\nabla^2 V=0$in der Region ohne Gebühren impliziert dies$V$ist eine harmonische Funktion, hat also nur Extrema am Rand. Dies impliziert, dass es ohne Ladungen in der elektrostatischen Konfiguration unmöglich ist, ein stabiles Gleichgewicht zu haben (Theorem von Earnshaw). Nehmen wir an, die Ladung sei im Gleichgewicht, dh die elektrostatische Kraft auf sie aufgrund der induzierten Ladungen verschwindet. Da die leitende Hülle eine beliebige Form hat, dürfen wir sie leicht verformen, daher ändert sich die Gleichgewichtsposition und die neue Konfiguration der induzierten Ladungen übt eine auf den Leiter anziehende Kraft aus, da der Satz impliziert, dass das Potential dazu tendiert die Ladung von ihrer Position wegschieben. Entsprechend können wir das Teilchen leicht bewegen, was den gleichen Effekt hat, wie das Problem gestellt wird.

An einem konkreten Beispiel lässt sich dies leicht nachvollziehen. Das einfachste, was ich finden konnte, ist der Kugelschalenleiter mit einer Ladung im Inneren. Das Potenzial der induzierten Ladungen lässt sich mit der Methode der Bilder leicht finden und ist immer attraktiv.

Auch, wenn wir eine kugelförmige Massenhülle hätten, dann in ihr$\vec{g} =\vec{0}$, wegen der Symmetrie des Problems und des Gaußschen Gesetzes. In diesem Fall wird ein darin befindliches Teilchen jedoch überhaupt keine Kraft spüren, da das Feld fest ist.

Die Kraft auf die Ladung$q$ist durch das elektrische Feld gegeben$\mathbf E_m = -\nabla \phi_m$von Ladungen der ihn umgebenden Metallhülle. Dieses Feld verschwindet nicht innerhalb des Metalls, weil Gesamtfeld$\mathbf E_m + \mathbf E_q$tut. Daraus folgt, dass das Potential von Metallladungen$\phi_m$ist nicht über das gesamte Metall konstant und seine innere Oberfläche ist nicht notwendigerweise eine Äquipotentialfläche$\phi_m$. Daher ist der Bereich innerhalb der Innenfläche nicht äquipotential$\phi_m$Entweder und es gibt Orte im Inneren, wo das elektrische Feld$\mathbf E_m$ist ungleich Null. Die aufladende Kraft$q$ist somit im Allgemeinen ungleich Null und führt dazu, dass sich die Ladung zum Metall bewegt und von diesem absorbiert wird.

Die Antwort auf Ihre Frage ist "nein". Platzieren Sie die Punktladung nahe an der Wand an einer Stelle der Wand. An dieser Stelle der Wand sammelt sich eine Oberflächenladung, die die Punktladung anzieht.

Im Folgenden gebe ich ein Beispiel, für das man die Anziehungskraft sogar analytisch berechnen könnte. Trotzdem bleibe ich hier etwas informell, da die Berechnung ziemlich aufwendig wäre.

Stellen Sie sich einen kubischen Hohlraum mit positiver Punktladung in geringem Abstand vor$\delta$von der linken Wand und in allen anderen Koordinaten zentriert.

Die Potentialrandbedingungen (das Potential am Rand muss konstant sein) sind mit dem Prinzip der Bildladungen erfüllt . Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Dort stehen die roten Punkte für positive Ladungen$Q$, die blauen für negative Ladungen$-Q$.

Beachten Sie, dass dieses Gitter in allen drei Raumrichtungen unendlich fortgesetzt werden muss, um Reflexionssymmetrie an den Wänden zu haben.

Nun lass$\delta$immer kleiner werden. Die Kraft der$2\delta$nahe Spiegelladung auf die eigentliche Punktladung wächst mit$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2\delta)^2}$während alle anderen Spiegelladungen Dipole bilden, bei denen die Ladung konstant bleibt und der Abstand der Paarladungen kleiner wird. Der Einfluss der Dipolfelder schrumpft auf Null. (Das Produkt aus Ladung und Abstand müsste gegen eine Konstante ungleich Null konvergieren, damit sich das Potentialfeld einer Konstanten ungleich Null nähert. In unserem Fall geht das Produkt aus Ladung und Abstand mit abnehmendem Abstand auf Null.)

Diese Methodik kann auch mit Konvergenzbeweisen und so weiter strenger gemacht werden. Das macht aber keinen Spaß mehr.

Nehmen wir an, dass Leiter und Hohlraum asymmetrische Zufallsformen sind$q$an irgendeiner allgemeinen Stelle in der Kavität platziert. Diese Ladung q induziert eine Ladung -q auf der Hohlraumoberfläche. Die Restladung nach dem Ziehen von -q ist +q und verteilt sich über die äußere Oberfläche des Leiters.

Erzwingen Sie die Ladung,$F=q/vec(E)$ist zu Null zu machen. Das elektrische Feld am Ort der Ladung muss also Null sein, vorausgesetzt, es handelt sich um einen allgemeinen Punkt, wir brauchen das Feld an allen Punkten des Hohlraums Null. Was erzeugt nun dieses Feld? Bei der Berechnung von Kräften ist nur das Feld aufgrund der anderen Ladungen wichtig, daher können wir davon ausgehen, dass q vollständig entfernt wird, und das Feld aufgrund von -q und +q berechnen. Auf Seite 101, ehich zwei Seiten hinter dem Problem, sagt Griffiths deutlich, dass das dritte Feld aufgrund von +q separat Null ist als die Summe von q und -q im Leiter. Wir vernachlässigen also +q in dieser Berechnung, dies wird durch die Tatsache verstanden, dass Leiter eine unendliche Permittivität haben, die zu einem symmetrischen (Null-)Feld auf einer Gaußschen Oberfläche im Leiter führt, und da das Integral aufgrund dessen Null ist, da die Oberfläche es nicht umschließt , und da ein solcher Abstand in Leitern für das Feld keine Rolle spielt, da er nicht mit dem Abstand abnimmt, ergibt ein symmetrisches Feld ein Nullintegral, dh das Feld aufgrund von +q ist immer Null. Dies ist ein logischer und kein mathematischer Beweis.

Das Feld ist jetzt nur noch wegen -q. Wir haben den Hohlraum bereits als asymmetrisch angenommen. Das Gauß-Integral (Oberflächenintegral des elektrischen Feldes und Punktprodukt mit der Senkrechten) ist gleich der eingeschlossenen Ladung (Null) dividiert durch die Permittivität. Nun, damit das Integral Null ist, gibt es drei Möglichkeiten, nämlich die$/vec(E)$an allen Punkten der Fläche null ist (i) oder senkrecht zur Fläche steht (ii) oder ebenso positiv wie negativ auf der Fläche ist (iii). Da wir frei sind, jede Form der Oberfläche für das Gauß-Integral unabhängig vom Hohlraum anzunehmen (unter der Annahme, dass es aufgrund der einfachen Berechnung keine Beschränkung gibt), können wir einfach eine sphärische Form nehmen, die die Kräuselung von E für Fall (ii) ungleich Null machen würde, was gilt aus (ii). Das Feld kann für alle Gaußschen Oberflächen für eine symmetrische Oberfläche, insbesondere eine Kugel, nur an allen Punkten Null sein. Daher ist (iii) die einzige Möglichkeit, und wie durch den zweiten Uniquemess-Satz bewiesen, können Sie sicher sein, dass es für den gesamten betrachteten Raum eine vollständige Eins-zu-Eins-Beziehung ist, wenn es eine Feld- und Ladungsverteilung gibt (nicht für lokalisierte Bereiche, wie es bei der Bildmethode der Fall ist).

Da sich die Ladung im Hohlraum des Leiters befindet, spürt sie zunächst kein externes elektrisches Feld aufgrund einer außerhalb des Hohlraums vorhandenen Ladung. Dies impliziert, dass das äußere Nettofeld an der Ladung null ist, dh die Ladung spürt keine äußere elektrische Kraft. Es kann auch keine Kraft auf sich selbst ausüben, daher ist die Nettokraft darauf null.