Berechnung des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator unter Angabe der Potentialdifferenz

Question

Berechnung des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator unter Angabe der Potentialdifferenz

I. Webib

Ich möchte das elektrische Feld (Größe und Richtung) in einem Parallelplattenkondensator berechnen. Der Kondensator hat eine Plusseite und eine Minusseite.

Was mir gegeben wurde, ist, dass das Potential auf der Plusseite, V ₊ , 0 V ist und das Potential auf der Minusseite, V _- , -10 ⁵ V ist. Also ist die Potentialdifferenz V ₊ - V _- = 10 ⁵ V .

Ich möchte das elektrische Feld zwischen den parallelen Platten aus dieser Beziehung berechnen: $V_{B} - V_{A} = - \int_A^B \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = - \int_A^B E \cos{(\phi)} \, \mathrm{d}l$ .

Wir arbeiten hier nur in einer Dimension, also bestimmen die Vorzeichen die Richtungen der Vektoren. Ich habe eine x-Achse platziert, deren Ursprung auf der Plusplatte liegt und die zur Minusseite hin zunimmt. Ich habe auch den Abstand zwischen den Platten mit 1m gewählt. Die x-Koordinate der Plus-Seite ist also 0 und die x-Koordinate der Minus-Seite ist 1. Hier ist eine Skizze der Situation:

Ich habe meine gewählt $x$ -Achse auf diese Weise, weil ich meine wollte $\vec{E}$ positiv sein. Jetzt zeigt es in die positive x-Richtung.

Kommen wir also zur Berechnung:

$V_{+} - V_{-} = 10^{5} \, \mathrm{V} = - \int_{x_{-}}^{x_{+}} \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = -\int_{x_{-}}^{x_{+}} \! E \cos{(\phi)} \, \mathrm{d}l$ .

Wir wissen, dass E zwischen den beiden Platten konstant ist und von der Plusseite zur Minusseite zeigt. Wir integrieren aus $x_{-}$ Zu $x_{+}$ So $\mathrm{d}\vec{l}$ geht von der Minusseite zur Plusseite. So $\mathrm{d}\vec{l}$ ist in der entgegengesetzten Richtung von $\vec{E}$ . Damit ist der Winkel gemeint $\phi$ zwischen ihnen ist $\pi$ Und $\cos{(\pi)} = -1$ . Die Gleichung wird: $10^{5} \, \mathrm{V} = - E \, (-1) \int_{x_{-}}^{x_{+}} \! \mathrm{d}l = E \, (x_{+} - x_{-}) = E \, (0 \, \mathrm{m} - 1 \, \mathrm{m}) = -1 \, \mathrm{m} \, E \Longleftrightarrow E = \frac{10^{5} \, \mathrm{V}}{-1 \, \mathrm{m}} = -10^{5} \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = -10^{5} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$ .

Mein $E$ hat sich als negativ herausgestellt. Das verwirrt mich, weil ich meine x-Achse so gewählt habe, dass E in die positive Richtung zeigen würde. Was habe ich falsch gemacht?

wahrscheinlich_jemand

Denken Sie an die Tatsache, dass das elektrische Feld von hohem Potential zu niedrigem Potential "fließt".

Färcher

\vec{E} \cdot d \vec{l}

$\vec E \cdot d\vec l$ ist negativ, da die beiden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen oder anders ausgedrückt sind

ϕ

$\phi$ Ist

180^{\circ}

$180 ^\circ$ .

Das Photon

@Farcher, das haben sie berücksichtigt, wenn sie über das sprechen

\cos (π)

$\cos(\pi)$ Begriff. Das Problem ist (glaube ich), dass sie diesen Effekt doppelt zählen, wenn sie ersetzen

\int_{x_{-}}^{x_{+}} d l = (x_{+} - x_{-})

$\int_{x_-}^{x_+}dl = (x_+ - x_-)$ . Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das erklären soll.

Färcher

Sie müssen sich das Problem ansehen, nicht die Mathematik. Die doppelte Zählung des negativen Vorzeichens ist der häufigste Fehler bei dieser Art der Ableitung und der Ableitung des elektrischen Feldes minus dem Potentialgradienten. Um von der rechten Platte zur linken zu gelangen, muss positive Arbeit durch eine externe Kraft oder negative Arbeit durch das elektrische Feld geleistet werden. Das Potenzial steigt in jedem Fall.

I. Webib

Wie sollen also meine Berechnungen aussehen @Farcher? Sollte ich einfach tun: E = U / d und dann wissen, dass die Richtung von E die Richtung des abnehmenden Potentials ist?

I. Webib

@Farcher war mein Fehler, das negative Vorzeichen doppelt zu zählen? Was sollte sich dann in meinen Berechnungen ändern? Soll ich den cos(phi) weglassen, weil mir das Integral das negative Vorzeichen geben würde, oder was soll ich tun, um diesen Fehler zu beheben? Ich bin einfach so verwirrt. Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

I. Webib

@ThePhoton Ich dachte dasselbe, dass das doppelte Zählen des negativen Vorzeichens der Fehler ist. Aber das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie es ein Fehler sein kann, weil ich irgendetwas mathematisch richtig gemacht habe, oder? Ich glaube schon. Ich meine,

\vec{E} \cdot d \vec{l}

$\vec{E} \cdot d\vec{l}$ ist das Produkt der Beträge mal dem cos des Winkels zwischen ihnen. Winkel = pi und cos(pi) = -1. Und es gab schon ein negatives Vorzeichen, also haben wir jetzt ein positives, aber das

x_{+} - x_{-}

$x_{+} - x_{-}$ gab ein weiteres Negativ. Ich denke, ich habe alles richtig gemacht, bitte sagen Sie mir, wenn ich falsch liege.

Das Photon

@I.Wewib, ich denke, das Problem ist das

\int_{x_{1}}^{x_{2}} d \vec{ℓ}

$\int_{x_1}^{x_2}{\rm d}\vec{\ell}$ ist an sich nicht aussagekräftig. Du kannst also nicht einfach die nehmen

\vec{E}

$\vec{E}$ Term aus dem Integral, wie Sie es getan haben. Aber ich kann Ihnen nicht sagen, welches "Gesetz" Sie dabei gebrochen haben.

Antworten (4)

Berechnung des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator unter Angabe der Potentialdifferenz

Denken Sie an die Tatsache, dass das elektrische Feld von hohem Potential zu niedrigem Potential "fließt".
$\vec E \cdot d\vec l$ ist negativ, da die beiden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen oder anders ausgedrückt sind $\phi$ Ist $180 ^\circ$ .
@Farcher, das haben sie berücksichtigt, wenn sie über das sprechen $\cos(\pi)$ Begriff. Das Problem ist (glaube ich), dass sie diesen Effekt doppelt zählen, wenn sie ersetzen $\int_{x_-}^{x_+}dl = (x_+ - x_-)$ . Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das erklären soll.
Sie müssen sich das Problem ansehen, nicht die Mathematik. Die doppelte Zählung des negativen Vorzeichens ist der häufigste Fehler bei dieser Art der Ableitung und der Ableitung des elektrischen Feldes minus dem Potentialgradienten. Um von der rechten Platte zur linken zu gelangen, muss positive Arbeit durch eine externe Kraft oder negative Arbeit durch das elektrische Feld geleistet werden. Das Potenzial steigt in jedem Fall.
Wie sollen also meine Berechnungen aussehen @Farcher? Sollte ich einfach tun: E = U / d und dann wissen, dass die Richtung von E die Richtung des abnehmenden Potentials ist?
@Farcher war mein Fehler, das negative Vorzeichen doppelt zu zählen? Was sollte sich dann in meinen Berechnungen ändern? Soll ich den cos(phi) weglassen, weil mir das Integral das negative Vorzeichen geben würde, oder was soll ich tun, um diesen Fehler zu beheben? Ich bin einfach so verwirrt. Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
@ThePhoton Ich dachte dasselbe, dass das doppelte Zählen des negativen Vorzeichens der Fehler ist. Aber das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie es ein Fehler sein kann, weil ich irgendetwas mathematisch richtig gemacht habe, oder? Ich glaube schon. Ich meine, $\vec{E} \cdot d\vec{l}$ ist das Produkt der Beträge mal dem cos des Winkels zwischen ihnen. Winkel = pi und cos(pi) = -1. Und es gab schon ein negatives Vorzeichen, also haben wir jetzt ein positives, aber das $x_{+} - x_{-}$ gab ein weiteres Negativ. Ich denke, ich habe alles richtig gemacht, bitte sagen Sie mir, wenn ich falsch liege.
@I.Wewib, ich denke, das Problem ist das $\int_{x_1}^{x_2}{\rm d}\vec{\ell}$ ist an sich nicht aussagekräftig. Du kannst also nicht einfach die nehmen $\vec{E}$ Term aus dem Integral, wie Sie es getan haben. Aber ich kann Ihnen nicht sagen, welches "Gesetz" Sie dabei gebrochen haben.

Alfred Centauri · Answer 1

Zurück zum Wesentlichen:

\vec{E} = - \nabla v

$\vec E = -\nabla V$

In einer Dimension, $x$ , wir haben

E_{X} D X = - D v (X)

$E_x \mathrm{d}x = -\mathrm{d}V(x)$

Jetzt ist ein positives elektrisches Feld in der $+x$ Richtung, dh Integration $E_x$ von 0 bis 1 ergibt ein positives Ergebnis, wenn das elektrische Feld positiv definit ist.

\int_{0}^{1} E_{X} D X = - v (1) + v (0) = - (- 10^{5}) + 0 = 10^{5} v

$\int_0^1E_x \mathrm{d}x = -V(1) + V(0) = -(-10^5) + 0 = 10^5 \mathrm{V}$

Wir wissen, dass (ohne Randfelder) das elektrische Feld zwischen den Platten konstant ist und so weiter

E_{X} = 10^{5} \frac{v}{M}

$E_x = 10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$

Aber warum funktioniert es nicht umgekehrt?

Ich denke, Ihre Integrationsgrenzen sind umgedreht. Im allgemeinen Fall parametrisiert man die Kurve beispielsweise mit $t$ und schreibt

\int_{C} \vec{E} \cdot D \vec{l} = \int_{A}^{B} \vec{E} (\vec{X} (T)) \cdot \frac{D \vec{X} (T)}{D T} D T

$\int_C \vec E \cdot \mathrm{d}\vec l = \int_a^b \vec E(\vec x(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\vec x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt}$

Für diesen Fall könnten wir schreiben

\int_{0}^{1} E (X (T)) \frac{D X (T)}{D T} D T

$\int_0^1 E(x(t))\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt}$

Da ist der Weg aus $x=1$ Zu $x=0$ , das muss es sein

X (T) = 1 - T \to \frac{D X (T)}{D T} = - 1 M

$x(t) = 1 - t \rightarrow \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}} = - 1 \mathrm{m}$

also z $E$ konstant, wir haben

\int_{0}^{1} E (X (T)) \frac{D X (T)}{D T} D T = - \int_{0}^{1} E (1 - T) D T = - E \int_{0}^{1} D T = - E \cdot 1 M

$\int_0^1 E(x(t))\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt} = -\int_0^1 E(1 - t)\,\mathrm{dt} = -E\int_0^1 \mathrm{dt} = -E \cdot 1\, \mathrm{m}$

Dann

Δ v = 10^{5} v = - \int_{C} \vec{E} \cdot D \vec{l} = - (- E \cdot 1 M) \to E = 10^{5} \frac{v}{M}

$\Delta V = 10^5\,\mathrm{V} = -\int_C \vec E \cdot \mathrm{d}\vec l = -(-E \cdot 1\, \mathrm{m}) \rightarrow E = 10^5 \mathrm{\frac{V}{m}}$

Das macht so viel Sinn, danke für deine Antwort. Aber warum funktioniert es nicht umgekehrt? $V(0) - V(1) = - \int_1^0 E_x \mathrm{d}x = - E_x (-1 \mathrm{m})$ . So $E_x = 10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$ . Aber $E = \frac{E_x}{cos(\phi)} = \frac{E_x}{-1}\mathrm{\frac{V}{m}}$ (weil wir von 1 nach 0 integriert haben, $\mathrm{d}\vec{x}$ Punkte von 1 bis 0 und $\vec{E}$ Punkte von 0 bis 1, also $\phi = \pi$ ). Und $E =\frac{E_x}{-1}\mathrm{\frac{V}{m}}=-10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$ . Es ist also negativ, und Ihres ist positiv. Ich muss etwas falsch machen. Kannst du mir bitte sagen was ich da falsch gemacht habe?
In deiner Antwort $\phi = 0$ Weil $\vec{E}$ Punkte von 0 auf 1, und so tut es $\mathrm{d}\vec{x}$ weil Sie von 0 bis 1 integrieren. Aber in meinen Berechnungen integriere ich von 1 bis 0 und $\mathrm{d}\vec{x}$ zeigt dann von 1 auf 0, aber das elektrische Feld zeigt immer noch von 0 auf 1. Also in meinen Berechnungen $\vec{E}$ Und $\mathrm{d}\vec{x}$ widersprechen, also $\phi = \pi$ . Sie und ich begannen mit der gleichen Formel, aber ich endete mit einem Negativ $\vec{E}$ und Sie mit einem positiven. Das verwirrt mich so sehr, was habe ich falsch gemacht? Ist es ein Denkfehler oder ein mathematischer?

Richard H. Downey · Answer 2

Wenn die Integrationsgrenzen in Bezug auf $x$ , müssen Sie die Integrationsvariablen von ändern $dl$ Zu $dx$ . In Ihrem gewählten Koordinatensystem, $dx=-dl$ , also korrigiert die richtige Variablenersetzung das Vorzeichen.

Färcher · Answer 3

Mein $E$ hat sich als negativ herausgestellt. Das verwirrt mich, weil ich meine x-Achse so gewählt habe, dass E in die positive Richtung zeigen würde. Was habe ich falsch gemacht?

Es hängt alles davon ab, welche Richtung Sie als positiv definieren.

Ist es $\hat x$ oder ist es $\hat l$ ?

Aus Ihrem Diagramm haben Sie einen Einheitsvektor definiert $\hat x$ und zwei Positionsvektoren $0 \,\hat x$ Und $1 \,\hat x$ wobei die Null und die Eins die Komponenten der Positionsvektoren in der sind $\hat x$ Richtung.

Lassen $\vec E = E \,\hat x$ Und $d\vec x = dx \,\hat x$ .

Wie die Richtung des Einheitsvektors definiert wurde, können Sie nehmen $E$ Und $dx$ Bestandteile von Vektoren sein $\vec E$ Und $d\vec x$ im $\hat x$ Richtung.

So $\vec E \cdot d\vec x = (E\,\hat x) \cdot (dx\,\hat x) = E \,dx$ bei dem die $dx$ wird durch den eingeschlagenen Weg bestimmt.

Arbeit, die das elektrische Feld bei der Entnahmeeinheit positiver Ladung verrichtet $x=0$ Zu $x=1$ Ist $\displaystyle \int^1_0 E\,dx = E$ wenn das elektrische Feld konstant ist.

Abzüglich der vom elektrischen Feld verrichteten Arbeit (das Ergebnis der Integration) ergibt sich die Potentialänderung im Hinausgehen aus $x=0$ Zu $x=1$ was gibt

$-E = -100000-0 \Rightarrow E = 100\,000 \Rightarrow E = 100\,000 \,\hat x$ .

Sie haben also festgestellt, dass das elektrische Feld eine Größe von hat $100\,000 \, \rm Vm^{-1}$ im $\hat x$ Richtung.

Betrachten Sie nun die Arbeit, die das elektrische Feld beim Gehen verrichtet $x=1$ Zu $x=0$ .
Alles, was getan werden muss, ist, die Grenzen der Integration zu ändern, da sich das Ergebnis der Durchführung des Skalarprodukts nicht ändert.

$\displaystyle \int^0_1 E\,dx = -E$ und abzüglich dieser Menge ergibt sich die Potenzialänderung beim Ausgehen $x=1$ Zu $x=0$ was gibt

$-(-E) = 0-(-100000) \Rightarrow E = 100\,000 \Rightarrow E = 100\,000 \,\hat x$ wie vorher.

Sie werden feststellen, dass die Integration die bestimmt $dx$ Schritte und ihre Zeichen entlang des Weges.

Jetzt haben Sie in Ihrem Diagramm einen Vektor eingeführt $d \vec l$ von denen wir annehmen können, dass sie gleich sind $dl\, \hat l$ Wo $\hat l = -1 \,\hat x$ .

Wenn Sie die Positionsvektoren wollen $0\, \hat x$ Und $0\, \hat l$ sowohl der Ursprung als auch die Position sein $x=1\,(x \,\hat x = 1 \, \hat x)$ muss auch Position sein $l=-1\,(l\,\hat l = -1\, \hat l)$ .

Nachdem wir die beiden Positionen zugewiesen haben, haben wir $\vec E = E \,\hat l$ Und $d\vec l = dl\,\hat l$ Wo $E$ ist die Komponente des elektrischen Feldes in der $\hat l$ Richtung.

Die Richtung des elektrischen Feldes wird nach erfolgter Integration ersichtlich.

$\vec E \cdot d\vec l = (E\,\hat l) \cdot (dl\,\hat l) = E \, dl$

Vom elektrischen Feld ausgehende Arbeit verrichtet $l=0$ Zu $l=-1$ Ist $\displaystyle \int^{-1}_0 E\,dl = -E$

Abzüglich der vom elektrischen Feld verrichteten Arbeit (abzüglich des Ergebnisses der Integration) ergibt sich die Potentialänderung beim Ausgehen $l=0$ Zu $l=-1$ was gibt

$-(-E) = -100000-0 \Rightarrow E = -100\,000 \Rightarrow \vec E = -100\,000 \,\hat l$

oder $\vec E = 100\,000 \,(-\hat l) = 100\,000\, \hat x$ wie vorher.

Pao · Answer 4

Wenn du schreibst: $\vec{E}\cdot\vec{dl}=E\cos(\phi)dl$ , das bedeutet, dass dl die Norm des infinitesimalen Liniensegments Ihres Pfads ist. Es ist immer positiv! Deshalb, $\int_{x+}^{x_-} dl$ ist die Länge des Segments zwischen x+ und x-.

Ich denke du solltest schreiben $\vec{E}\cdot\vec{dl}=\vert E \vert\cos(\phi) \vert{dl}\vert$ und dann:

$\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert \int_{x+}^{x_i} dl \vert_{dl>0} \vert + \vert\int_{xi}^{x_{i+1}} dl \vert_{dl<0} +...+ \vert\int_{x_n}^{x_-} dl \vert_{dl>0}= \vert\int_{x+}^{x_{-}} dl \vert_{dl<0} =\vert x_- -x_+ \vert$ was positiv ist.

NB: Was ich im letzten Schritt mache, ist, das Integral in Stücke mit dl des gleichen Vorzeichens zu zerlegen, was in Ihrem Fall nicht notwendig war, da in Ihrem gesamten Pfad (1D) dl negativ war.

Ach, tatsächlich? So funktioniert es? Ich wusste das bereits $\vec{E}\cdot\vec{dl}=\vert E \vert\cos(\phi) \vert{dl}\vert$ . Aber das wusste ich nicht $\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert \int_{x+}^{x_-} dl \vert$ . Ich dachte das: $\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert x_{-} \vert - \vert x_{+} \vert$ . Bist du sicher, dass das, was du geschrieben hast, mathematisch korrekt ist?
Ich habe meine Antwort bearbeitet, es könnte jetzt klarer sein.

Berechnung des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator unter Angabe der Potentialdifferenz

I. Webib

wahrscheinlich_jemand

Färcher

Das Photon

Färcher

I. Webib

I. Webib

I. Webib

Das Photon

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Alfred Centauri

I. Webib

I. Webib

Alfred Centauri

Richard H. Downey

Färcher

Pao

I. Webib

Pao

Bin ich richtig, wenn ich die Ladung, die elektrische Verschiebung, die elektrischen Felder und die Energie dieses Schaltungssystems finde?

Potential aufgrund eines geladenen Rings: Diskontinuität des elektrischen Felds

Feld eines Zylinders mit Oberflächenladungsdichte σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

Ableitung der Spannung aus dem elektrischen Feld

Kraft auf eine Punktladung qqq in einem Hohlraum in einem ungeladenen Leiter

Arbeitsspannung des Plattenkondensators V=Qdϵ0AV=Qdϵ0AV={Qd\over{\epsilon_0 A}} Beziehung zum Abstand der Platten

Warum scheint die Potentialdifferenzabhängigkeit der Kapazität und der in einem Parallelplattenkondensator gespeicherten Gesamtenergie widersprüchlich zu sein?

Wie groß ist das elektrische Feld in einer homogen geladenen Hohlkugel/Kugelkondensator?

Ladungsverteilung auf einem Parallelplattenkondensator

Energie im elektrischen Feld