Ladungsverteilung auf einem Parallelplattenkondensator

Ignorieren Sie innere und äußere Oberflächen. Es gibt nur eine Oberfläche.

Stellen Sie sich eine einzelne, unendliche Ebene mit einer gewissen positiven Ladungsdichte vor. Sie können leicht zeigen, dass es in beiden Richtungen senkrecht aus der Ebene bis ins Unendliche ein elektrisches Feld konstanter Stärke* geben würde .

Stellen Sie sich nun eine einzelne, unendliche Platte mit derselben negativen Ladungsdichte vor. Es gäbe ein elektrisches Feld konstanter Stärke senkrecht in die Ebene hinein bis ins Unendliche in beide Richtungen.

Legen Sie diese beiden Platten übereinander, und diese Felder heben sich perfekt auf.

Legen Sie diese beiden Platten parallel, und da das Feld eine konstante Stärke hat, wird es sich überall perfekt aufheben, außer zwischen den beiden Platten , wo die Richtungen des elektrischen Felds gleich sind und doppelt so stark sind.

[*Mit konstanter Stärke meine ich, dass das elektrische Feld genauso stark ist, egal wie weit man von der Platte entfernt ist. Warum ist das Feld konstant stark? Denn die Feldlinien können nie voneinander abweichen. Die Art und Weise, wie Felder normalerweise schwächer werden, ist die Äquipotentialfläche, auf der die Feldlinien normalerweise größer werden, wenn Sie den Abstand vom Objekt vergrößern. Die gleiche Anzahl von Feldlinien, die eine größere Oberfläche durchdringen, bedeutet also, dass sich die Feldlinien weiter ausbreiten und somit ein schwächeres Feld. In diesem Fall sind die Äquipotentialflächen jedoch immer ein Paar unendlicher paralleler Ebenen, egal wie weit wir von der geladenen Ebene entfernt sind. Keine Streuung bedeutet keine Änderung der Feldstärke.]

Man könnte mit dem Problem umgehen, indem man darauf achtet, wie man eine mathematische Interpretation des physikalischen Systems erstellt. Ich werde den einfachsten Fall behandeln: Behandeln Sie die Oberflächen der Parallelplattenkondensatoren als echte zweidimensionale Oberflächen. In diesem Fall gibt es keine innere oder äußere Oberflächenladung, sondern nur eine auf jeder Oberfläche definierte Oberflächenladungsdichte.

Mathematisch könnte man beispielsweise jeden Leiter als eine unendliche Ebene darstellen$S_\pm \subset \mathbb{R}^3$, dann gibt es zwei Oberflächenladungsdichten$\sigma_\pm$jeweils auf der entsprechenden Oberfläche definiert$S_\pm$. Alternativ kann man die Sprache der Verteilungen verwenden und eine auf allen definierte (Volumen-)Gebührenverteilung verwenden$\mathbb{R}^3$so dass$\rho(x, y, z) = \sigma_+ \delta(z - d/2) + \sigma_+ \delta(z + d/2)$wo ich hingelegt habe$S_\pm$in den Flugzeugen$z = \pm d/2$.

Kompliziertere Modelle könnten davon ausgehen, dass jede Platte des Leiters eine endliche Dicke hat. Man könnte dann das kompliziertere Problem lösen und berechnen, was in den Grenzen passiert, wenn sich die Dicke Null nähert.

Zunächst eine Kleinigkeit: Wenn die Potentiale auf den beiden Platten nicht Null sind, sind sie per Definition nicht geerdet.

Zweitens, wie ich darüber nachdenke: Im interessierenden Bereich über und unter den Platten sind die Randbedingungen nicht festgelegt. Um diese Randbedingungen einzustellen, könnten Sie sich vorstellen, zwei zusätzliche unendlich leitende Platten über und unter den ursprünglichen Platten hinzuzufügen und diese neuen Platten auf 0-Potential zu erden.

• Befinden sich die neuen Platten zunächst in der Nähe der ursprünglichen Platten, entsteht tatsächlich ein elektrisches Feld über und unter den ursprünglichen Platten und eine entsprechende Oberflächenladungsdichte auf ihren Außenflächen.
• Stellen Sie sich nun vor, die neuen Platten würden bis ins Unendliche entfernt. Da die Potentialdifferenzen fest sind, gehen das elektrische Feld und die Ladungsdichten der äußeren Oberfläche auf Null.