Warum besagt das Gaußsche Gesetz, dass eine „endliche“ Anzahl von elektrischen „Feldlinien“ aus einer Ladung herauskommt, anstatt einer „unendlichen“ Anzahl?

Lassen Sie mich das Konzept zusammenfassen. Die Feldlinien sind stetig so zu ziehen, dass

• Die an jedem Punkt gezeichnete Tangente ist an diesem Punkt parallel zum Feld.

• Die Dichtefeldlinien in einer Region (NICHT an einem Punkt) sind proportional zur Feldstärke in dieser Region.

Offensichtlich sagen diese Aussagen nichts über die Feldstärke an einem Punkt aus. Lassen Sie uns hier also einige Punkte festhalten. Noch wichtiger ist, SIE SIND NICHT REAL. Ja, dies ist nur ein von Faraday erstelltes Visualisierungstool.

1. Das Konzept der Feldlinien ist qualitativ. Die Gesamtzahl der Feldlinien ist also nicht so wichtig. Der wichtige Punkt ist die Feldliniendichte. Wir legen die Anzahl der Feldlinien beim Zeichnen fest. Denn wir können nicht unendlich viele Feldlinien zeichnen.

2. Eine quantitativere Idee wäre Raumwinkel. Der Gesamtraumwinkel ist immer$4\pi$Daher verwenden die Leute im Allgemeinen verwirrend die Sprache, die die Anzahl der Feldzeilen ist$4\pi$. Aber das sind sie nicht. Die Anzahl der Feldlinien ist, was Sie wollen.

Lassen Sie uns endlich sehen, was die genaue Aussage des Gaußschen Gesetzes ist .

Der elektrische Nettofluss durch jede geschlossene Oberfläche ist gleich $\frac{1}{\varepsilon_o}$mal die elektrische Nettoladung innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche.

Die Definition des elektrischen Flusses lautet:$\Phi_E = \iint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} \propto$Anzahl von Feldlinien, die eine bestimmte Oberfläche S kreuzen, aber NICHT gleich sind.

Das Gaußsche Gesetz besagt nicht, dass es eine endliche Anzahl von Feldlinien gibt. Das Gaußsche Gesetz sagt nicht wirklich etwas über (zumindest direkt) die Anzahl der Feldlinien aus, sondern sagt etwas über den Fluss des elektrischen Feldes aus. Um aus diesem scheinbaren terminologischen Geflecht eine konkrete Bedeutung zu machen, wollen wir alles Schritt für Schritt definieren und/oder angeben.

Elektrisches Feld: Es ist das Vektorfeld, dessen Wert an einem bestimmten Punkt durch die Kraft gegeben ist, die auf eine statische Punktladung der Einheitsladung aufgrund ihrer Ladung wirkt.

Fluss:$\phi = \displaystyle\int_{S}\vec{E}.d\vec{A}$

Gaußsches Gesetz:$\displaystyle\int_{S}\vec{E}.d\vec{A} = \dfrac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$

Der Fluss ist nicht wirklich definiert als die Anzahl der Feldlinien, die einen bestimmten Teil der Oberfläche kreuzen, sondern ist nur die Oberflächenintegration des Skalarprodukts des elektrischen Felds und der elementaren Oberfläche. Und das Gesetz von Gauß spricht einfach von diesem Fluss.

Wenn wir jedoch versuchen, uns ein Bild des elektrischen Feldes in den Begriffen zu machen, mit denen wir primitiv vertraut sind, erhalten wir das Bild, in dem eine endliche Anzahl unendlich langer Pfeile aus einer statischen Ladung herauskommen, jeder zeigt radial nach außen. Dieses Modell weist eine inhärente Abweichung vom tatsächlichen Feld auf, da die Pfeile nicht den gesamten Raum einnehmen, während das Feld dies tatsächlich tut. Aber wir können mit diesem Modell noch ein bisschen weit gehen, wenn wir bedenken, dass es nicht wirklich in bester Übereinstimmung mit Experimenten steht und den mathematischen Gesetzen, die durch Experimente abgeleitet wurden, beim Ziehen der Schlussfolgerungen nicht der Vorrang gegeben werden sollte.

Lassen Sie uns eine Menge bezeichnen, die als die Anzahl von Pfeilen definiert ist, die einen bestimmten Teil der Oberfläche kreuzen$\phi_p$. Das ist jetzt interessant$\dfrac{\phi_pQ}{N\epsilon_0} = \phi$Wo$Q$ist die Ladung der betrachteten statischen Punktladung,$N$ist die Anzahl unendlicher Pfeile, die aus der betrachteten Punktladung austreten. Die Anzahl der Pfeile, die einen Teil einer Oberfläche überqueren, ist also direkt proportional zum elektrischen Feldfluss für eine bestimmte Anzahl imaginärer Pfeile. Aber wie man deutlich sehen kann, sagt diese Analogie nichts über die Anzahl der elektrischen Feldlinien aus, die, wenn sie unter vernünftigen Gesichtspunkten definiert würden, durch einen endlichen Teil einer Oberfläche immer entweder null oder unendlich wären.

Daher die lehrbuchhaften Behauptungen über die Anzahl der aus einer Punktladung kommenden Feldlinien$q$Sein$\dfrac{q}{\epsilon_0}$sind falsch.$\dfrac{q}{\epsilon_0}$ist nur der Fluss.

Wo hast du das gelesen? Feldlinien sind nur ein qualitatives Maß, Sie können sie so oft zeichnen, wie Sie möchten, und ihre Anzahl kann unendlich sein.