Oberflächendichteladung, Divergenz des elektrischen Feldes und Gaußsches Gesetz

Es ist bekannt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes an einem bestimmten Punkt durch diese Formel gegeben ist:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho (r)}{\epsilon_{0}}$$

Sein$\rho (r)$die Volumenladungsdichte an diesem Punkt.

Was ist demnach, wenn es eine Volumenladungsdichte von Null, aber eine Oberflächenladungsdichte ungleich Null gibt? Hätte das elektrische Feld an diesem Punkt eine Divergenz von Null?

Wie versöhnt sich diese Tatsache in diesem Fall mit dem Gaußschen Gesetz?

Das Gaußsche Gesetz steht in direktem Zusammenhang mit dem Divergenzsatz:

$$∭_{V}(∇⋅E) dV=∬_{S}E\cdot dS$$

Wenn wir eine Oberflächenladungsverteilung innerhalb einer beliebigen geschlossenen Oberfläche haben, wäre der erste Term null, weil die Divergenz jedes elektrischen Felds, das durch eine beliebige Oberflächenladungsverteilung erzeugt wird, null wäre. Daher wäre das Oberflächenintegral auch Null und nach dem Gaußschen Gesetz:

$$∬_{S}E\cdot dS=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_{0}}$$

Es wird keine Nettoladung innerhalb des durch die Oberfläche geschlossenen Volumens geben, was offensichtlich nicht wahr ist. Ich vermute, dass diese Inkonsistenz damit zu tun hat, dass wir zum Beweis des Gauß-Gesetzes zu dem Schluss kommen, dass:

$$\nabla \cdot E=\dfrac{q}{\epsilon_{0}}\delta(r)$$

Sein$\delta(r)$dreidimensionales Dirac´s Delta mit$r=0$an der Stelle, wo die Gebühr$q$befindet sich.

Wir substituieren$q$von$\rho (r)dV$, Und solange$dV$ein Infinitesimal dritter Ordnung ist, erhalten wir den allgemeinen Ausdruck für die Divergenz eines elektrischen Felds, aber wenn wir die gleiche Substitution im Fall einer Oberflächen- oder linearen Ladungsverteilung vornehmen, hat der resultierende Ausdruck ein Dirac-Delta.

Dies legt mir nahe, dass der Ausdruck der Divergenz des elektrischen Feldes, den ich gelernt habe, unvollständig ist und nur für Volumenladungsverteilungen gilt.